2.3 Partielle Integration - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck um 13:29, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:29:09Z

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	* Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.		* Wie man Integrale durch partielle Integration, kombiniert mit Substitutionen, löst.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Partielle Integration ==		== A - Partielle Integration ==

Tek um 13:50, 24. Sep. 2009

2009-09-24T13:50:05Z

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	}}		}}

-	== Partielle Integration ==	+	== A - Partielle Integration ==

	Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung		Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

Silke2: /* Partielle Integration */

2009-09-10T11:36:49Z

Partielle Integration

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	Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung		Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>D\,(\,u\, v) = \left( D\, u \right) \, v + u \, D \, v </math>}}
		+
		+	oder in einer anderen Notation (= Schreibweise)
		+
		+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \left( \,u \, v \right)^{\, \prime} = u^{\,\prime} \, v + u \, v^{\, \prime} \,\mbox{.}</math>}}

	Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir		Wenn wir jetzt beide Seiten integrieren, erhalten wir

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>u \, v = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>u \, v = \int (\,u v)^{\,\prime} \,dx = \int (\,u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,)\,dx = \int u^{\,\prime} \, v\,dx + \int u\, v'\,dx</math>}}

	und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.		und so erhalten wir die Regel für partielle Integration.
Zeile 111:		Zeile 115:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = e^x \cos x + e^x \sin x - \int e^x \cos x \, dx</math>}}

-	Sammeln wir alle ~~Terme~~ auf ~~einer~~ Seite, erhalten wir	+	Sammeln wir alle Integrale auf der linken Seite, so erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}

Tek: Added skype and exercise links at the bottom of the page

2009-09-02T07:43:26Z

Added skype and exercise links at the bottom of the page

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Zeile 152:		Zeile 152:

	</div>		</div>
		+	<br><br>
		+
		+	Noch Fragen zu diesem Kapitel? Dann schau nach im Kursforum (Du findest den Link in der Student Lounge) oder frag nach per Skype bei ombTutor <skype style="call" action="call">ombTutor</skype> <skype style="chat" action="chat">ombTutor</skype>
		+
		+	Keine Fragen mehr? Dann mache weiter mit den '''[[2.3 Übungen\|Übungen]]''' .

Moni um 10:55, 22. Aug. 2009

2009-08-22T10:55:22Z

← Nächstältere Version		Version vom 10:55, 22. Aug. 2009
Zeile 40:		Zeile 40:
	Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.		Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.

-	Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.	+	Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 56:		Zeile 56:
	Wenn wir aber <math>u=x</math> und <math>v'=\sin x</math> wählen, wird <math>u'=1</math> und <math>v=-\cos x</math>,		Wenn wir aber <math>u=x</math> und <math>v'=\sin x</math> wählen, wird <math>u'=1</math> und <math>v=-\cos x</math>,

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \~~times~~ \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int x \, \sin x \, dx = - x \, \cos x - \int - 1 \cdot \cos x \, dx = - x\cos x + \sin x + C\,\mbox{.}</math>}}
	</div>		</div>

Zeile 65:		Zeile 65:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, ~~nachdem~~ wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math>, erhalten wir	+	Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, da wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen können. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math>, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
Zeile 115:		Zeile 115:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int e^x \cos x \, dx = {\textstyle\frac{1}{2}}e^x ( \cos x + \sin x) + C\,\mbox{.}</math>}}

-	Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, ~~die~~ wir ~~für~~ unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.	+	Hier erhielten wir kein einfacheres Integral durch partielle Integration, aber wir erhielten eine Gleichung, mit der wir unser Integral lösen konnten. Dies kommt nicht selten vor, wenn man trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktionen integriert.
	</div>		</div>

Zeile 142:		Zeile 142:
	Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math> und wir erhalten das Integral		Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math> und wir erhalten das Integral

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \~~times~~ 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \cdot 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}

	Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab und integrieren den Faktor <math>2u</math>		Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab und integrieren den Faktor <math>2u</math>

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int \ln u \~~times~~ 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int \ln u \cdot 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}

Sekretariat1 um 09:13, 18. Aug. 2009

2009-08-18T09:13:20Z

Sekretariat1 um 08:08, 18. Aug. 2009

2009-08-18T08:08:39Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:08, 18. Aug. 2009
Zeile 48:		Zeile 48:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Wenn wir <math>u=\sin x</math> und <math>v'=x</math> wählen, erhalten wir <math>u'=\cos x</math> und <math>v=x^2/2</math>, und ~~wir erhalten~~ durch die Formel für partielle Integration	+	Wenn wir <math>u=\sin x</math> und <math>v'=x</math> wählen, erhalten wir <math>u'=\cos x</math> und <math>v=x^2/2</math> und es ergibt sich durch die Formel für partielle Integration

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int x \, \sin x \, dx = \frac{x^2}{2} \, \sin x - \int \frac{x^2}{2} \, \cos x \, dx\,\mbox{.}</math>}}

Sekretariat1 um 08:05, 18. Aug. 2009

2009-08-18T08:05:42Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:05, 18. Aug. 2009
Zeile 40:		Zeile 40:
	Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.		Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.

-	Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt,wie man vorgeht.	+	Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt, wie man vorgeht.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">

Sekretariat1 um 08:04, 18. Aug. 2009

2009-08-18T08:04:19Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:04, 18. Aug. 2009
Zeile 38:		Zeile 38:
	</div>		</div>

-	Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (~~am liebsten~~ die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.	+	Wenn man Probleme mit partieller Integration löst, erhofft man sich, dass das Integral <math>\,\int u^{\,\prime} \, v\,dx\ </math> einfacher zu berechnen ist als <math>\,\int u \, v'\,dx\ </math>. Hier ist <math>v</math> eine beliebige Stammfunktion von <math>v'</math> (vorzugsweise die einfachste) und <math>u'</math> ist die Ableitung von <math>u</math>.

	Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt,wie man vorgeht.		Obwohl partielle Integration sehr hilfreich sein kann, gibt es keine Garantie, dass es zu einem einfacheren Integral führt. Oft muss man sorgfältig wählen, welche Funktion <math>u</math> sein soll, und welche <math>v'</math> sein soll. Das folgende Beispiel zeigt,wie man vorgeht.

Sekretariat1 um 08:01, 18. Aug. 2009

2009-08-18T08:01:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 08:01, 18. Aug. 2009
Zeile 23:		Zeile 23:
	== Partielle Integration ==		== Partielle Integration ==

-	Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. ~~Sein~~ <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen ~~und~~ wir ~~erhalten~~ durch die Produktregel die Ableitung	+	Partielle Integration kann hilfreich sein, um Produkte zu integrieren. Die Methode stammt von der Ableitungsregel für Produkte. Wenn <math>u</math> und <math>v</math> zwei differenzierbare Funktionen sind, erhalten wir durch die Produktregel die Ableitung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>D\,(\,u\, v) = u^{\,\prime} \, v + u \, v'\,\mbox{.}</math>}}

← Nächstältere Version		Version vom 09:13, 18. Aug. 2009
Zeile 65:		Zeile 65:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math> erhalten wir	+	Wir wählen <math>u=\ln x</math> und <math>v'=x^2</math>, nachdem wir durch Ableitung die Logarithmusfunktion beseitigen. Nachdem <math>u'=1/x</math> und <math>v=x^3/3</math>, erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int x^2 \, \ln x \, dx &= \frac {x^3}{3} \, \ln x - \int \frac{x^3}{3} \, \frac{1}{x} \, dx = \frac {x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx\\[4pt] &= \frac{x^3}{3} \, \ln x - \frac{1}{3} \, \frac{x^3}{3} + C = \tfrac{1}{3}x^3 ( \ln x - \tfrac{1}{3} ) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}
Zeile 77:		Zeile 77:
	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Wir wählen <math>u=x^2</math> und <math>v'=e^x</math>, ~~und~~ daher ist <math>u'=2x</math> und <math>v=e^x</math>. Durch partielle Integration erhalten wir	+	Wir wählen <math>u=x^2</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2x</math> und <math>v=e^x</math>. Durch partielle Integration erhalten wir

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math> \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x\,e^x \, dx\,\mbox{.}</math>}}

-	Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>, ~~und~~ daher ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>:	+	Wir müssen hier noch einmal partielle Integration anwenden, um das Integral <math>\,\int 2x\,e^x \, dx</math> zu berechnen. Hier wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^x</math>, daher ist <math>u'=2</math> und <math>v=e^x</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int 2x\,e^x \, dx = 2x\,e^x - \int 2 e^x \, dx = 2x\,e^x - 2 e^x + C\,\mbox{.}</math>}}
Zeile 126:		Zeile 126:
	Das Integral kann als		Das Integral kann als

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{.}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int_{0}^{1} \frac{2x}{e^x} \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, e^{-x} \, dx\,\mbox{}</math>}}

	geschrieben werden. Wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^{-x}</math>, erhalten wir durch partielle Integration		geschrieben werden. Wählen wir <math>u=2x</math> und <math>v'=e^{-x}</math>, erhalten wir durch partielle Integration
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	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math>, und wir erhalten das Integral	+	Zuerst machen wir die Substitution <math>u=\sqrt{x}</math>, wodurch wir <math>du=dx/2\sqrt{x} = dx/2u</math> erhalten. Also ist <math>dx = 2u\,du\,</math> und wir erhalten das Integral

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\int \ln \sqrt{x} \, dx = \int \ln u \times 2u \, du\,\mbox{.}</math>}}

-	Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab, und integrieren den Faktor <math>2u</math>	+	Danach wenden wir partielle Integration an. Wir leiten den Faktor <math>\ln u</math> ab und integrieren den Faktor <math>2u</math>

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align}\int \ln u \times 2u \, du &= u^2 \ln u - \int u^2 \, \frac{1}{u} \, du = u^2 \ln u - \int u\, du\\[4pt] &= u^2 \ln u - \frac{u^2}{2} + C = x \ln \sqrt{x} - \frac {x}{2} + C\\[4pt] &= x \bigl( \ln \sqrt{x} - \tfrac{1}{2} \bigr) + C\,\mbox{.}\end{align}</math>}}


-	''Hinweis:'' Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> zu schreiben, und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration zu integrieren.	+	Hinweis: Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Integrand als <math>\ln\sqrt{x} = \tfrac{1}{2}\ln x</math> zu schreiben und die Produkte <math>\tfrac{1}{2}\,\ln x</math> mit partieller Integration zu integrieren.

	</div>		</div>