1.3 Maximierungs- und Minimierungsprobleme - Versionsgeschichte

Ines um 15:10, 24. Okt. 2010

2010-10-24T15:10:47Z

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	<br>		<br>
	<br>		<br>
-	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die ~~Wurzeln~~ der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung	+	Nachdem die Funktion ein Polynom ist, ist sie überall ableitbar. Alle Extrempunkte müssen daher stationäre Stellen sein. Die Ableitung der Funktion ist <math>f^{\,\prime}(x) = 3x^2 -2x - 1</math>, und die Nullstellen der Ableitung berechnen wir durch die Gleichung

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>

Ines um 14:53, 24. Okt. 2010

2010-10-24T14:53:01Z

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	\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}		\, \frac{1}{\sqrt[\scriptstyle 3]{x}}\,\mbox{.}</math>}}

-	Von dieser Funktion sehen wir, dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion ~~einen singulären~~ Stelle in <math>x=0</math>.	+	Von dieser Funktion sehen wir, dass <math>y'</math> für <math>x = 0</math> nicht definiert ist (obwohl <math>y</math> definiert ist). Also hat die Funktion eine singuläre Stelle in <math>x=0</math>.

	Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch		Die stationären Stellen der Funktion erhalten wir durch

Ines um 14:42, 24. Okt. 2010

2010-10-24T14:42:08Z

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	y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}		y' = 12x^3 + 12x^2 - 24x = 12x(x^2+x-2)\,\mbox{.}</math>}}

-	Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die ~~Wurzeln~~ von <math>x^2+x-2</math> finden.	+	Um das Vorzeichen der Funktion zu bestimmen, zerlegen wir die Funktion in ihre Faktoren. Den Faktor <math>12x</math> haben wir schon und können die Funktion weiter zerlegen, indem wir die Nullstellen von <math>x^2+x-2</math> finden.

	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>

Dagmar Timmreck um 13:28, 11. Aug. 2010

2010-08-11T13:28:08Z

← Nächstältere Version		Version vom 13:28, 11. Aug. 2010
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	}}		}}

		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Steigende und fallende Funktionen ==		== A - Steigende und fallende Funktionen ==

Dagmar Timmreck um 15:14, 10. Aug. 2010

2010-08-10T15:14:34Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:14, 10. Aug. 2010
Zeile 99:		Zeile 99:
	== C - Sattelpunkte ==		== C - Sattelpunkte ==

-	Ein Sattelpunkt ist ein ~~Punkte~~, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (Funktion ist links ~~und recht~~ von der Sattelstelle monoton steigend bzw. Funktion ist links ~~und~~ recht von der Sattelstelle monoton fallend).	+	Ein Sattelpunkt ist ein Punkt, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (die Funktion ist sowohl links als auch rechts von der Sattelstelle monoton steigend bzw. die Funktion ist sowohl links als auch recht von der Sattelstelle monoton fallend).

	<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>		<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>

Dagmar Timmreck um 15:11, 10. Aug. 2010

2010-08-10T15:11:35Z

← Nächstältere Version		Version vom 15:11, 10. Aug. 2010
Zeile 90:		Zeile 90:
	== B - Stationäre Stellen ==		== B - Stationäre Stellen ==

-	Stellen, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. ~~Es gibt~~ drei ~~verschiedene~~ Arten von stationären Stellen:	+	Stellen, in denen <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> gilt, nennt man stationäre Stellen oder kritische Stellen. Wir unterscheiden drei Arten von stationären Stellen:
	* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts von der Stelle ist.		* Lokale Maxima, für die <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> rechts von der Stelle ist.
	* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts von der Stelle ist.		* Lokale Minima, für die <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> links von der Stelle ist und <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> rechts von der Stelle ist.

Silke2 um 14:42, 30. Sep. 2009

2009-09-30T14:42:13Z

← Nächstältere Version		Version vom 14:42, 30. Sep. 2009
Zeile 84:		Zeile 84:
	Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt		Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } x,\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } x. \end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad \text{ für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } [a,b],\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad \text{für alle } x \in [a,b] \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } [a,b]. \end{align}</math>}}

	Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.		Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

Silke2: /* A - Steigende und fallende Funktionen */

2009-09-07T16:46:35Z

A - Steigende und fallende Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 16:46, 7. Sep. 2009
Zeile 84:		Zeile 84:
	Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt		Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f~~(x)~~ \text{ ist (streng) monoton steigend in } x,\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f~~(x)~~ \text{ ist (streng) monoton fallend in } x. \end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton steigend in } x,\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f \text{ ist (streng) monoton fallend in } x. \end{align}</math>}}

	Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.		Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

Silke2: /* A - Steigende und fallende Funktionen */

2009-09-07T16:45:43Z

A - Steigende und fallende Funktionen

← Nächstältere Version		Version vom 16:45, 7. Sep. 2009
Zeile 84:		Zeile 84:
	Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt		Um zu bestimmen, ob eine Funktion monoton steigend oder fallend ist, verwendet man die Ableitung der Funktion. Es gilt

-	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) monoton steigend,}\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) monoton fallend.} \end{align}</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>\begin{align} f^{\,\prime}(x) > 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) monoton steigend in } x,\\ f^{\,\prime}(x) < 0 \quad&\Rightarrow \quad f(x) \text{ ist (streng) monoton fallend in } x. \end{align}</math>}}

	Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.		Hinweis: Umgekehrt gilt das nicht. Eine Funktion, deren Ableitung in einer bestimmten Stelle null ist, kann sehr wohl streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein. Solange die Ableitung nur an einer isolierten Stelle null ist und nicht in einem Intervall, kann die Funktion streng monoton steigend oder streng monoton fallend sein.

Silke2: /* C - Sattelpunkte */

2009-09-07T16:44:04Z

C - Sattelpunkte

← Nächstältere Version		Version vom 16:44, 7. Sep. 2009
Zeile 99:		Zeile 99:
	== C - Sattelpunkte ==		== C - Sattelpunkte ==

-	Ein Sattelpunkt ist ein Punkte, in dem die Ableitung einer Funktion null ist jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert. ~~Die zweite Ableitung in einem Sattelpunkt~~ ist ~~auch null, daher kann er als lokaler Extremwert~~ der ~~Ableitung gesehen werden~~.	+	Ein Sattelpunkt ist ein Punkte, in dem die Ableitung einer Funktion null ist (waagerechte Tangente) jedoch die Funktion nicht ihre Monotonieverhalten verändert (Funktion ist links und recht von der Sattelstelle monoton steigend bzw. Funktion ist links und recht von der Sattelstelle monoton fallend).
-		+

	<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>		<center>{{:1.3 - Bild - Verschiedene Wendepunkte}}</center>
	{\| width="85%" align="center"		{\| width="85%" align="center"
-	\|\|<small> Im Sattelpunkt ändert sich ~~die Richtung~~ der Ableitung. Die linke Kurve hat einen ~~Wendepunkt~~ bei ''x'' = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.</small>	+	\|\|<small> Im Sattelpunkt ändert sich das Vorzeichen der Ableitung nicht. Die linke Kurve hat einen Sattelstelle bei ''x'' = 0. Die anderen Funktionen hingegen haben keine Sattelpunkte.</small>
	\|}		\|}

Zeile 111:		Zeile 110:

	Die Funktion hat einen lokales Minimum in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokales Maximum in <math>x = 2</math>.		Die Funktion hat einen lokales Minimum in <math>x = -2</math>, einen Sattelpunkt in <math>x = 0</math> und einen lokales Maximum in <math>x = 2</math>.
-

	== D - Vorzeichentabelle ==		== D - Vorzeichentabelle ==