1.1 Einführung zur Differentialrechnung - Versionsgeschichte

Dagmar Timmreck: Einleitungstext

2010-08-11T13:27:32Z

Einleitungstext

← Nächstältere Version		Version vom 13:27, 11. Aug. 2010
Zeile 27:		Zeile 27:
	* Die Ableitung von <math> f </math> an der Stelle <math>x_0</math> wird mit <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> oder <math>\frac{df}{dx}(x_0)</math> bezeichnet.		* Die Ableitung von <math> f </math> an der Stelle <math>x_0</math> wird mit <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> oder <math>\frac{df}{dx}(x_0)</math> bezeichnet.
	}}		}}
		+
		+	Die Lernziele sind Dir aus der Schule noch bestens vertraut und Du weißt ganz genau, wie man die zugehörigen Rechnungen ausführt? Dann kannst Du auch gleich mit den <b>Prüfungen</b> beginnen (Du findest den Link in der Student Lounge).

	== A - Einführung ==		== A - Einführung ==

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

2009-09-16T10:34:41Z

Robot: Automated text replacement (-ä +ä)

← Nächstältere Version		Version vom 10:34, 16. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	</div>		</div>

-	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in ~~Abhängigkeit~~ von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit ~~fährt~~, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.	+	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 118:		Zeile 118:
	</div>		</div>

-	Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer ~~näher~~ an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.	+	Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

	Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.		Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Tekbot: Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

2009-09-16T10:31:58Z

Robot: Automated text replacement (-ü +ü)

← Nächstältere Version		Version vom 10:31, 16. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	</div>		</div>

-	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km ~~zurückgelegt~~. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.	+	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">
Zeile 115:		Zeile 115:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x)		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x)
	= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}		= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-	Wenn ~~für~~ ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.	+	Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
	</div>		</div>

-	Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert ~~für~~ <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch ~~für~~ Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null ~~heranrückt~~. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt ~~eingeführt~~ und ist dann ein sehr wichtiges Thema.	+	Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

	Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.		Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Silke2: /* B - Definition der Ableitung */

2009-09-07T13:49:07Z

B - Definition der Ableitung

← Nächstältere Version		Version vom 13:49, 7. Sep. 2009
Zeile 117:		Zeile 117:
	Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.		Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
	</div>		</div>
		+
		+	Die Definition der Differenzierbarkeit benutzt den "Grenzwert für <math> h </math> nach Null", den man als <math> \lim_{h \to 0} </math> schreibt. Man sagt auch "der Limes (=lateinisch für Grenzwert) von <math> h </math> gegen Null". Ganz grob bedeutet das, dass <math> h </math> immer kleiner wird oder immer näher an die Null heranrückt. Der Grenzwert wird in der Analysis I mathematisch exakt eingeführt und ist dann ein sehr wichtiges Thema.

	Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.		Es gibt viele Bezeichnungen für die Ableitung, hier sind einige.

Silke2: /* Tangenten und Normalen */

2009-09-03T13:48:05Z

Tangenten und Normalen

← Nächstältere Version		Version vom 13:48, 3. Sep. 2009
Zeile 353:		Zeile 353:


-	== Tangenten und Normalen ==	+	== E - Tangenten und Normalen ==

-	Eine ''Tangente'' ist eine Gerade, die tangential ~~zur Kurve~~ ist.	+	Eine ''Tangente'' ist eine Gerade, die tangential zum Graphen ist.

-	Eine ''Normale'' ist ~~eine~~ Gerade, die ~~rechtwinklig zur Kurve und daher auch rechtwinklig~~ zur Tangente ist.	+	Eine ''Normale'' ist die Gerade, die orthogonal zur Tangente ist: Die Tangente und die Normale bilden einen rechten Winkel.

-	Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ~~deren~~ Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung der Normalen <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. ~~Nachdem wir~~ die ~~Tangente durch Ableitung bestimmen können, können wir auch die Normale durch Ableitung bestimmen~~.	+	Für rechtwinklige Geraden ist das Produkt ihrer Steigungen immer <math>–1</math>. Wenn also die Steigung der Tangente <math>k_T</math> ist, und die Steigung der Normalen <math>k_N</math> ist, ist <math>k_T \, k_N = -1</math>. Damit kann man die Geradengleichung der Normalen aufstellen.

Silke2: /* C - Das Vorzeichen der Ableitung */

2009-09-03T13:39:26Z

C - Das Vorzeichen der Ableitung

← Nächstältere Version		Version vom 13:39, 3. Sep. 2009
Zeile 194:		Zeile 194:
	<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>		<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>
	<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.</li>		<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.</li>
-	<li><math>T'(2)=-0.3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur 0~~.3°~~ pro Minute ab.<br>	+	<li><math>T'(2)=-0{,}3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur <math> 0{,}3^\circ </math> pro Minute ab.<br>
	(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>		(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>
	</ol>		</ol>

Silke2: /* C - Das Vorzeichen der Ableitung */

2009-09-03T13:37:46Z

C - Das Vorzeichen der Ableitung

← Nächstältere Version		Version vom 13:37, 3. Sep. 2009
Zeile 202:		Zeile 202:
	''' Beispiel 6'''		''' Beispiel 6'''

-	Die Funktion <math>f(x)=\|x\|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> nicht bestimmen (Siehe ~~Figur~~).	+	Die Funktion <math>f(x)=\|x\|</math> ist an der Stelle <math>x=0</math> nicht differenzierbar, da rechts von 0 die Steigung der Tangente 1 beträgt während links von 0 die Steigung der Tangente -1 beträgt . Man kann also die Steigung der Funktion im Punkt <math>(0,0)</math> nicht bestimmen (Siehe Abbildung).

	Man kann auch sagen, dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert oder nicht definiert ist.		Man kann auch sagen, dass <math>f^{\,\prime}(0)</math> nicht existiert oder nicht definiert ist.

Silke2: /* C - Das Vorzeichen der Ableitung */

2009-09-03T13:36:24Z

C - Das Vorzeichen der Ableitung

← Nächstältere Version		Version vom 13:36, 3. Sep. 2009
Zeile 142:		Zeile 142:
	== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==		== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==

-	Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion ~~ab-~~ oder ~~zunehmend~~ ist:	+	Das Vorzeichen (+/-) sagt uns, ob die Funktion fallend oder steigend ist:

-	* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> ~~zunehmend~~ ist.	+	* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positive Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> steigend ist.
-	* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> ~~abnehmend~~ ist.	+	* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negative Ableitung) bedeutet, dass <math>f(x)</math> fallend ist.
	* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet, dass <math>f(x)</math> waagerecht ist.		* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (Ableitung ist null) bedeutet, dass <math>f(x)</math> waagerecht ist.

Zeile 162:		Zeile 162:
	''' Beispiel 4'''		''' Beispiel 4'''

-	Aus der ~~Figur~~ sehen wir, dass	+	Aus der Abbildung sehen wir, dass
	<center>		<center>
	{\| align="center"		{\| align="center"
Zeile 182:		Zeile 182:
	</center>		</center>

-	~~Beachten Sie~~ den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.	+	Beachte den Unterschied zwischen <math>f(x)</math> und <math>f^{\,\prime}(x)</math>.

	</div>		</div>
Zeile 189:		Zeile 189:
	''' Beispiel 5'''		''' Beispiel 5'''

-	Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> Minuten ist gegeben. ~~Erklären Sie folgendes mit mathematischen Begriffen:~~	+	Die Temperatur <math>T(t)</math> in einer Thermoskanne nach <math>t</math> Minuten ist gegeben. Wir erklären <math> T(t) </math> und <math> T^\prime(t)</math> umgangssprachlich.

	<ol type="a">		<ol type="a">
-	<li><math>T(10)=80</math><br><br>	+	<li><math>T(0)=85</math> : Zu Beginn ist die Temperatur 85°.</li>
-	Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.</li>	+	<li><math>T(10)=80</math> : Nach 10 Minuten ist die Temperatur 80°.</li>
-	<li><math>T'(2)=-3</math>~~<br><br>~~	+	<li><math>T'(2)=-0.3</math> : Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur 0.3° pro Minute ab.<br>
-	Zum Zeitpunkt <math>t=2</math> nimmt die Temperatur 3° pro Minute ab.<br>	+
	(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>		(Die Ableitung ist negativ und deshalb nimmt die Temperatur ab.)</li>
	</ol>		</ol>
Zeile 211:		Zeile 210:

	</div>		</div>
-

	== D - Ableitungen von Funktionen ==		== D - Ableitungen von Funktionen ==

Silke2: /* B - Definition der Ableitung */

2009-09-03T13:22:33Z

B - Definition der Ableitung

← Nächstältere Version		Version vom 13:22, 3. Sep. 2009
Zeile 101:		Zeile 101:
	== B - Definition der Ableitung==		== B - Definition der Ableitung==

-	Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P'' zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen ''P'' und ''Q'':	+	Um die momentane Steigung in einen Punkt ''P''<math>=(x,f(x)) </math> zu berechnen, führen wir einen anderen Punkt ''Q'' ein und berechnen die Sekantensteigung zwischen ''P'' und ''Q'':

	<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>		<center>{{:1.1 - Bild - Die Sekantensteigung zwischen P und Q}}</center>
Zeile 109:		Zeile 109:
	= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}		= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}

-	Wenn wir den Punkt ''Q'' immer näher dem Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f~~(x)~~</math> im Punkt ''P''.	+	Wenn wir den Punkt ''Q'' immer näher dem Punkt ''P'' wählen, erhalten wir zum Schluss die momentane Steigung im Punkt ''P''. Dies nennt man die Ableitung von <math>f</math> im Punkt ''P'' oder (weil <math> P=(x,f(x)) </math>) an der Stelle <math> x </math>.
-		+
-	~~Die Ableitung von~~ <math>f(x)</math> ~~schreibt man~~ <math>~~f^{\,\prime}(~~x)</math> ~~und wird definiert als:~~	+

	<div class="regel">		<div class="regel">
-	''Die Ableitung'' von <math>f(x)</math> ist	+	Die Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math> x </math> schreibt man als <math>f^{\,\prime}(x)</math>. Sie ist definiert als:
	{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x)		{{Abgesetzte Formel\|\|<math>f^{\,\prime}(x)
	= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}		= \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
-	~~Falls~~ <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f~~(x)~~</math> ~~''differenzierbar''~~ an der Stelle <math>x=x_0</math> ist.	+	Wenn für ein <math> x_0</math> der Grenzwert <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existiert, sagt man, dass die Funktion <math>f</math> an der Stelle <math>x=x_0</math> ''differenzierbar'' ist.
	</div>		</div>

Zeile 141:		Zeile 139:
	\| align="center" \| <math>s^{\,\prime}(t)</math>		\| align="center" \| <math>s^{\,\prime}(t)</math>
	\|}		\|}
-

	== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==		== C - Das Vorzeichen der Ableitung ==

Silke2: /* A - Einführung */ editierungsfehler

2009-09-03T13:11:12Z

A - Einführung - editierungsfehler

← Nächstältere Version		Version vom 13:11, 3. Sep. 2009
Zeile 60:		Zeile 60:
	</div>		</div>

-	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 ~~\cdot~~ t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung ~~dieser~~ Funktion ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.	+	Falls ein Auto mit konstanter Geschwindigkeit von 80 km/h unterwegs ist, hat es nach ''t'' Stunden ''s= 80 t'' km zurückgelegt. Wir schreiben die Strecke s in Abhängigkeit von der Zeit t als s(t), also <math>s(t)=80 t</math>. Die Steigung der Funktion s ist genau dasselbe wie die Geschwindigkeit des Autos. Falls das Auto nicht mit konstanter Geschwindigkeit fährt, variiert auch die Steigung der Funktion s. Man kann natürlich immer noch die Sekantensteigung berechnen und dies wird einer Durchschnittsgeschwindigkeit entsprechen. In diesem Abschnitt werden wir uns aber darauf konzentrieren, die momentane Steigung von s (also Momentangeschwindigkeit des Autos) zu berechnen.

	<div class="exempel">		<div class="exempel">