Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir teilen die Nenner in der Gleichung in ihre Primfaktoren auf, \displaystyle 6=2\cdot 3, \displaystyle 9=3\cdot 3 und 2. Wir sehen, dass der kleinste gemeinsamer Nenner \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3=18 ist. Wir multiplizieren daher beide Seiten mit \displaystyle 2\cdot 3\cdot 3, um die Nenner zu eliminieren.

\displaystyle \begin{align} & \rlap{/}2\cdot{}\rlap{/}3\cdot 3\cdot\frac{5x}{\rlap{/}6} - 2\cdot{}\rlap{/}3\cdot{}\rlap{/}3\cdot\frac{x+2}{\rlap{/}9} = \rlap{/}2\cdot 3\cdot 3\cdot \frac{1}{\rlap{/}2} \\[5pt] &\qquad\Leftrightarrow\quad 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 3\cdot 3\,\textrm{.}\\ \end{align}

Die linke Seite der Gleichung kann wie \displaystyle 3\cdot 5x-2\cdot (x+2) = 15x-2x-4 = 13x-4 geschrieben werden und wir bekommen

\displaystyle 13x-4=9\,\textrm{.}

Jetzt besteht nur mehr eine lineare Gleichung, die wir wie vorher lösen

1. 4 auf beiden Seiten addiert, \displaystyle \vphantom{x_2}13x-4+4=9+4\,, liefert \displaystyle \ 13x=13\,\textrm{.}
2. Teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 13, \displaystyle \frac{13x}{13}=\frac{13}{13}\,, erhalten wir die Lösung \displaystyle \ x=1\,\textrm{.}

Die Gleichung hat die Lösung \displaystyle x=1.

Wir kontrollieren die Lösung, indem wir x mit 1 in der ursprünglichen Gleichung substituieren

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \frac{5\cdot 1}{6}-\frac{1+2}{9} = \frac{5}{6}-\frac{3}{9} = \frac{5}{6}-\frac{1}{3}\\[5pt] &= \frac{5}{6}-\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{5-2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = \text{Rechte Seite}\,\textrm{.} \end{align}