Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir faktorisieren zuerst die beiden Terme in der linken Seite der Gleichung:

\displaystyle x(x^{2}-2x) = x\cdot x\cdot (x-2)
\displaystyle x\cdot (2-x) = -x(x-2).

Nachdem wir den gemeinsamen Faktor \displaystyle x(x-2) haben, faktorisieren wir den ganzen Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung

\displaystyle \begin{align} x(x^{2}-2x) + x(2-x) &= x^{2}(x-2) - x(x-2)\\[5pt] &= x\bigl(x(x-2)-(x-2)\bigr)\\[5pt] &= x(x-2)(x-1)\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann jetzt als

\displaystyle x(x-2)(x-1) = 0

geschrieben werden. Diese Gleichung ist erfüllt, wenn einer der Faktoren \displaystyle x, \displaystyle x-2 oder \displaystyle x-1 null ist. Also sind die Lösungen \displaystyle x=0, \displaystyle x=2 und \displaystyle x=1.

Nachdem es nicht ganz offensichtlich ist, ob \displaystyle x=1 eine Lösung ist, kontrollieren wir, ob dies hierbei der Fall ist:

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= 1\cdot (1^{2}-2\cdot 1) + 1\cdot (2-1) \\[5pt] &= 1\cdot (-1) + 1\cdot 1 = 0 = \text{Rechte Seite.}\end{align}