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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Theorie

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Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass (sinv)2+(cosv)2=1, das normalerweise als sin2v+cos2v=1 geschrieben wird.

Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.

Spiegelung in der x-Achse

Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel v, −v. Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht. cos(−v)sin(−v)=cosv,=−sinv.

Spiegelung in der y-Achse

Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel v, −v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel v mit der negativen x-Achse) Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht. cos(−v)sin(−v)=−cosv,=sinv.

Spiegelung in der Geraden y = x

Durch eine Spiegelung in der Geraden wird der Winkel v, 2−v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel v mit der positiven y-Achse). Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze. cos2−vsin2−v=sinv.=cosv.

Drehung um den Winkel 2

Durch eine Umdrehung von 2 wird der Winkel v zu v+2. Durch die Drehung wird die Koordinate (xy) zu (−yx). cosv+2sinv+2=−sinv,=cosv.

Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Cosinus lauten die Additionstheoreme

Um die Doppelwinkelfunktionen sin2v und cos2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle sin(v+v) und cos(v+v) der Additionstheoreme betrachten

Indem man in diese Formel 2v mit v ersetzt und natürlich auch v mit v2, erhält man für cos2v

cosv=cos2v2–sin2v2.

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term cos2(v2) los

cosv=1–sin2v2–sin2v2=1–2sin2v2

also

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term sin2(v2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

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