Lösung 4.4:7b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras und schreiben \displaystyle \sin^2\!x als \displaystyle 1-\cos^2\!x. Wir erhalten die Gleichung
\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\, |
oder auch
\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.} |
Wir betrachten diese Gleichung nun als eine in der Unbekannten \displaystyle \cos x und schreiben stattdessen
\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0 |
mit \displaystyle \cos x=t\,.
Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.
Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 genügen. Die erste Gleichung hat die Lösungen
\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\,, |
während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.
Also hat die Gleichung die Lösungen
\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,, |