Lösung 3.1:6d
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Die Schwierigkeit in diesem Problem liegt darin, dass der Nenner aus drei Wurzeln besteht. Daher müssen wir in mehreren Schritten arbeiten, um den Bruch zu vereinfachen. Im ersten Schritt betrachten wir den Nenner als \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6} und erweitern den Bruch mit dem konjugierten Nenner \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}\,.
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{6}}\cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}} &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{6})^{2}}\\[10pt] &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6}\,\textrm{.} \end{align} |
Wir erweitern den Ausdruck \displaystyle (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2} mit der binomischen Formel
| \displaystyle \begin{align}
\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{2}-6} &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}-6}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2+2\sqrt{2\cdot 3}+3-6}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\,\textrm{.} \end{align} |
Der Nenner besteht jetzt nur mehr aus einer Wurzel, die wir los werden, indem wir den Bruch mit \displaystyle 2\sqrt{6}+1 erweitern,
| \displaystyle \begin{align}
\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1} &= \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}{2\sqrt{6}-1}\cdot\frac{2\sqrt{6}+1}{2\sqrt{6}+1}\\[10pt] &= \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{6}+1)}{(2\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot 1+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{6}+\sqrt{3}\cdot 1-\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{6}-\sqrt{6}\cdot 1}{2^{2}(\sqrt{6})^{2}-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2\cdot 3}+\sqrt{3}-2(\sqrt{6})^{2}-\sqrt{6}}{4\cdot 6-1^{2}}\\[10pt] &= \frac{2(\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}+2(\sqrt{3})^{2}\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\cdot 6-\sqrt{6}}{24-1}\\[10pt] &= \frac{2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+\sqrt{2}+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt] &= \frac{(1+2\cdot 3)\sqrt{2}+(2\cdot 2+1)\sqrt{3}-12-\sqrt{6}}{23}\\[10pt] &= \frac{7\sqrt{2}+5\sqrt{3}-\sqrt{6}-12}{23}\,\textrm{.} \end{align} |
