Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Bei der quadratischen Ergänzung beachten wir nur den quadratischen und den linearen Term, also \displaystyle x^{2}+2x. Die Formel für die quadratische Ergänzung von \displaystyle x^{2}+ax lautet

\displaystyle \Bigl(x+\frac{a}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{a}{2}\Bigr)^{2}\,\textrm{.}

Verwenden wir diese Formel, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x = \Bigl(x+\frac{2}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{2}{2}\Bigr)^{2} = (x+1)^{2}-1

Subtrahieren wir "-1" von beiden Seiten der Gleichung, erhalten wir

\displaystyle x^{2}+2x-1 = (x+1)^{2}-1-1 = (x+1)^{2}-2\,\textrm{.}

Um zu kontrollieren, ob die quadratische Ergänzung korrekt ist, erweitern wir die Quadrate auf der Rechten Seite, und erhalten

\displaystyle (x+1)^{2}-2 = x^{2}+2x+1-2 = x^{2}+2x-1