Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir sehen dass \displaystyle x nur in den \displaystyle \sin x-Termen auftritt. Daher Lösen wir zuerst die Gleichung für \displaystyle \sin x, statt direkt für \displaystyle x

Wir benennen \displaystyle t = \sin x und erhalten die Gleichung

\displaystyle 2t^2 + t = 1

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle t. Nach division durch 2 erhalten wir die Gleichung

\displaystyle \begin{align} t^2 + \frac{1}{2}t - \frac{1}{2} &= \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \frac{1}{2}\\[5pt] &= \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 - \frac{9}{16} \end{align}

oder

\displaystyle \Bigl(t+\frac{1}{4}\Bigr)^2 = \frac{9}{16}

mit den Lösungen \displaystyle t=-\tfrac{1}{4}\pm \sqrt{\tfrac{9}{16}}=-\tfrac{1}{4}\pm \tfrac{3}{4}, also

\displaystyle t = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4} = \frac{1}{2}\qquad\text{und}\qquad t = -\frac{1}{4}-\frac{3}{4} = -1\,\textrm{.}

Nachdem \displaystyle t=\sin x, müssen die Lösungen x, der Gleichung, einer der Gleichungen \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \sin x = -1\, erfüllen.

\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}:

Diese Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = \pi/6 und \displaystyle x = \pi - \pi/6 = 5\pi/6 im Einheitskreis, und daher die allgemeinen Lösungen

\displaystyle x = \frac{\pi}{6}+2n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{5\pi}{6}+2n\pi\,,

\displaystyle \sin x = -1:

Hat nur die Lösung \displaystyle x = 3\pi/2 im Einheitskreis, und daher die allgemeinen Lösungen

\displaystyle x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi\,,

Zusammen erhalten wir also die Lösungen

\displaystyle \left\{\begin{align} x &= \pi/6+2n\pi\,,\\[5pt] x &= 5\pi/6+2n\pi\,,\\[5pt] x &= 3\pi/2+2n\pi\,, \end{align}\right.