Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Mit einer der Logarithmusgesetzen können wir die linke Seite mit nur einen Logarithmusterm schreiben

\displaystyle \ln x+\ln (x+4) = \ln (x(x+4))\,,

Dies voraussetzt aber dass die Ausdrücke \displaystyle \ln x und \displaystyle \ln (x+4) definiert sind, also dass \displaystyle x > 0 und \displaystyle x+4 > 0\,. Also müssen wir bedenken dass die Lösungen x, der Gleichung

\displaystyle \ln (x(x+4)) = \ln (2x+3)

\displaystyle x > 0 erfüllen müssen (\displaystyle x+\text{4}>0 ist dann per Automatik erfüllt).

Die Gleichung ist erfüllt, nur dann wenn die Argumente \displaystyle x(x+4) und \displaystyle 2x+3 der Logarithmen gleich und grösser als null sind

\displaystyle x(x+4) = 2x+3\,\textrm{.}

Dies entspricht der Gleichung \displaystyle x^2+2x-3=0, und durch quadratische Ergänzung erhalten wir die Lösungen

\displaystyle \begin{align} (x+1)^2-1^2-3 &= 0\,,\\ (x+1)^2=4\,, \end{align}

Also ist \displaystyle x=-1\pm 2, oder \displaystyle x=-3 und \displaystyle x=1\,.

Nachdem \displaystyle x=-3 negativ ist, ist dies keine gültige Lösung. \displaystyle x=1 im gegensinn, erfüllt \displaystyle x > 0 und \displaystyle x(x+4) = 2x+3 > 0\,. Daher ist die Lösung \displaystyle x=1\,.