Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Beide Seiten der Gleichung sind positiv, unabhängig von x. Daher können wir beide Seiten direkt logarithmieren. Durch die Logarithmusgesetze erhalten wir

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \ln\bigl( 3e^{x^{2}}\bigr) = \ln 3 + \ln e^{x^2} = \ln 3 + x^2\ln e = \ln 3 + x^2\,\textrm{,}\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln 2^x = x\ln 2\,\textrm{.} \end{align}

Wir sammeln alle Terme auf einer Seite der Gleichung, und erhalten

\displaystyle x^{2}-x\cdot \ln 2 + \ln 3 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir durch quadratische Ergänzung lösen

\displaystyle \begin{align} \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} + \ln 3 = 0\,\textrm{,}\\[5pt] \Bigl(x-\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{2}\ln 2\Bigr)^{2} - \ln 3\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem \displaystyle 2 < e < 3 und daher \displaystyle \ln 2 < 1 < \ln 3, ist \displaystyle \tfrac{1}{4}(\ln 2)^2 < \ln 3, und die rechte Seite der Gleichung ist also negativ. Nachdem die linke Seite der Gleichung eine Quadrate ist, ist sie immer positiv. Also hat die Gleichung keine Lösung.