2.1 Algebraische Ausdrücke

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Das Distributivgesetz
  • Squaring rules
  • Difference of two squares
  • Rational expressions

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:

  • Simplify complex algebraic expressions.
  • Factorise expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.
  • Expand expressions using squaring rules and the difference of two squares rule.

Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz ist die Regel die für die Multiplikation von Klammern mit einen Faktor.


[Image]

Beispiel 1

  1. \displaystyle 4(x+y) = 4x + 4y
  2. \displaystyle 2(a-b) = 2a -2b
  3. \displaystyle x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}
  4. \displaystyle a(x+y+z) = ax + ay + az

Das Distributivgesetz erklärt auch wie ein Minuszeichen vor einer Klammer interpretiert werden soll, nämlich dass ein Minuszeichen vor einer Klammer dasselbe ist wie wenn man alle Zeichen in den Ausdruck wechselt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle -(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y
  2. \displaystyle -(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x
    where we have in the final step used \displaystyle -(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x\,\mbox{.}
  3. \displaystyle -(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3
    \displaystyle \phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3
  4. \displaystyle x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2
    \displaystyle \phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2

Das Distributivgesetz kann auch in verkehrter Reihenfolge benutzt werden. Dies nennt man "Ausklammern". Oft möchte man den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

Beispiel 3

  1. \displaystyle 3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)
  2. \displaystyle xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)
  3. \displaystyle 2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)
  4. \displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1


Die binomische Formeln

Das Distributivgesetz kann verwendet werden um andere Rechenregeln herzuleiten. Wenn wir folgenden Ausdruck beachten

\displaystyle (a+b)(c+d)

und \displaystyle (a+b) als einen Faktor betrachten der mit der Klammer \displaystyle (c+d) multipliziert wird, bekommen wir

\displaystyle \eqalign{ 
 \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d)
   &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c
      + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr
 (a+b)\,(c+d)
   &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}

Danach verwenden wir wieder das Distributivgesetz zweimal, und multiplizieren \displaystyle c und \displaystyle d mit ihren jeweiligen Klammern.

\displaystyle (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}

Um sich an die Formel zu erinnern kann man wie folgt denken:

[Image]

Beispiel 4

  1. \displaystyle (x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2
    \displaystyle \phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2
  2. \displaystyle 3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)
    \displaystyle \phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y
  3. \displaystyle (1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2
    \displaystyle \phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2 where we have used \displaystyle -x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2.

Es gibt zwei wichtige Spezialfälle von diese Regel, nämlich wenn \displaystyle a+b und \displaystyle c+d gleich sind.

Binomische Formeln

\displaystyle (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2
\displaystyle (a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2

Diese Regeln werden die erste und zweite binomische Formel genannt.

Beispiel 5

  1. \displaystyle (x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4
  2. \displaystyle (-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9
    where \displaystyle (-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2\,\mbox{.}
  3. \displaystyle (x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16
  4. \displaystyle (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1
    \displaystyle \phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x
  5. \displaystyle (2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)
    \displaystyle \phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8
  6. \displaystyle (x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4
    \displaystyle \phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8

Die binomischen Formeln können auch rückwärts verwendet werden um einen Ausdruck in seine Faktoren zu zerlegen.

Beispiel 6

  1. \displaystyle x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2
  2. \displaystyle x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2
  3. \displaystyle x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2


Differenz von zwei Quadraten

Es gibt auch eine dritte binomische Formel, und sie lautet:

Die Differenz von zwei Quadraten:

\displaystyle (a+b)(a-b) = a^2 -b^2

Diese Formel kann hergeleitet werden indem man das Distributivgesetz zweimal verwendet.

\displaystyle (a+b)(a-b) 
 = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b)
 = a^2 -ab+ab-b^2
 = a^2 -b^2\mbox{.}

Beispiel 7

  1. \displaystyle (x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2
  2. \displaystyle (x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2
  3. \displaystyle (y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2
  4. \displaystyle x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)
    \displaystyle \phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)


Rationale Ausdrücke

Rechnungen mit rationalen Ausdrücken sind sehr ähnlich Rechnungen mit Brüchen

Alle Rechenregeln die für Brüche gelten, gelten auch für Rationale Ausdrücke,

\displaystyle \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} 
 = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}
 \quad \mbox{and} \quad
 \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}}
 = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}

Beispiel 8

  1. \displaystyle \frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}
  2. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}

Ban kann den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck multiplizieren. Dies nennt man wie mit Brüchen erweitern.

\displaystyle \frac{x+2}{x+1} 
 = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)}
 = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)}
 = \dots

Das umgekehrte geht auch, nämlich dass man den Zähler und Nenner eines rationalen Ausdruckes mit jeweils den selben Ausdruck dividiert. Dies nennt man wie bei Brüchen auch kürzen.

\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } 
 = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)}
 = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}

Beispiel 9

  1. \displaystyle \frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}
  2. \displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{Difference of two squares}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}

Wenn man Brüche addiert oder subtrahiert, muss man die Brüche zuerst erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben,


\displaystyle \frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} 
 = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x}
 = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)}
 = \frac{x-1-x}{x(x-1)}
 = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}

Um die Ausdrücke so klein wie möglich zu behalten, sollte man immer den kleinsten gemeinsamen Nenner des Brüchen finden.

Beispiel 10

  1. \displaystyle \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle (x+1)(x+2)

    Wir erweitern den ersten Bruck mit \displaystyle (x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}
     &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)}
      = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.}
   \end{align*}
  2. \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2

    Wir müssen nur den ersten Bruch erweitern um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu bekommen.
    \displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} 
       = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2}
   = \frac{x+1}{x^2}\,\mbox{.}
  3. \displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x^2(x+1)^2(x+2)

    Wie erweitern den ersten Bruch mit \displaystyle x(x+2) und den zweiten Bruch mit \displaystyle (x+1)^2
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}
     &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)}
        - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt]
     &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\,\mbox{.}
   \end{align*}
  4. \displaystyle \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad hat den kleinsten gemeinsamen Nenner \displaystyle x(x-1)(x+1)

    Wir müssen alle Brüche erweitern sodass sie einen gemeinsamen Nenner haben\displaystyle x(x-1)(x+1)
    \displaystyle \begin{align*} 
       \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1
     &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)}
        - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt]
     &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)}\,\mbox{.}
   \end{align*}

To simplify large expressions, it is often necessary to both cancel factors and multiply numerators and denominators by factors. As cancellation implies that we have performed factorisations, it is obvious we should try to keep expressions (such as the denominator) factorised and not expand something that we will later need to factorise.


Beispiel 11

  1. \displaystyle \frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{MGN} = (x+2)(x-2)\,\right\}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}

    \displaystyle \phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}
  2. \displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}
  3. \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}

    \displaystyle \phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}


Übungen


Tipps fürs lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".


Bedenke folgendes:

Vorsicht! Ein Rechenfehler kann die ganze Rechnung zerstören.

Rechnen Sie lieber in mehreren Schritten alls in einen Schritt falls Sie sich unsicher fühlen.

Das erweitern von Ausdrücken ist oft unnötig, nachdem Sie den Ausdruck später vielleicht kürzen müssen.


Reviews

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Understanding Algebra - English text on the Web


Nützliche Websites

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