Lösung 1.1:7b

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als eine Quote zwischen ganzen Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

x=3.1416 1416 1416...

und

10x=31.4161 4161 4161...

100x=314.1614 1614 161...

1000x=3141.6141 6141 61...

10000x=31416.1416 1416 1...

Jetzt sieht man dass 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie 10000x hat.

Also,

10000x−x=31416.1416 1416...−3.1416 1416...

=31413(die Dezimale kanzellieren einander)

und nachdem 10000x−x=9999x haben wir

9999x=31413.

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir dass

x=999931413=333310471.