Lösung 1.1:7c

Man sieht dass die Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung von 001 hat.

und also ist sie rational.

Indem wir die Zahl mit 10 multiplizieren, können wir das komme Schritt für Schritt nach rechts verschieben

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,\textrm{.}\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{}=2\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{}=20\,\textrm{.}\,01\ 001\ 001\ 1\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{}=200\,\textrm{.}\,1\ 001\ 001\ 1\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots

Hier sieht man dass 10x und 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, und also ist

\displaystyle 10000x-10x = 2001\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots

\displaystyle \phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad(die Dezimale kanzellieren)

\displaystyle 10000x-10x = 9990x, und also ist

\displaystyle 9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}