ZusatzStoffTUB
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Inhalt:
- erster Punkt
- zweiter Punkt
- dritter Punkt
Lernziele
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- erstes Ziel
- zweites Ziel
Kombinatorik
Inhaltsverzeichnis[Verbergen] |
A - Permutationen
Permutationen sind die Anzahl der Möglichkeiten, die Anordnung von Gegenständen zu Vertauschen, also die Anzahl der Weisen Objekte anzuordnen.
Beispiel 1
Wie viele Möglichkeiten gibt es die drei Objekte 
in verschiedenen Reihenfolgen an zu ordnen?
Es gibt 
21=3!=6
Allgemein:
Für eine Gruppe von n Elementen gibt es
3321
Beispiel 2
- Möglichkeiten der Anordnung von
a ?
mbu4!=4 321=24 3!5!=3 2154321=54(n−1)!(n+1)!=(n−1)(n−2) …
21(n+1)n(n−1)(n−2)21=(n+1)n2n!=2 n(n−1)…21(2n)!=2n (2n−1)(2n−2)n(n−1)21
Stichproben aus n- elementigen Mengen:
Beispiel 3
Wie viele Worte mit 4 Buchstaben kann man mit den Buchstaben A, R, T, E, N und S bilden? (mit Doppelbenutzung) 1. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 2. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 3. Buchstabe: 6 Möglichkeiten 4. Buchstabe: 6 Möglichkeiten
Also gibt es 666=64
Allgemein:
Es gibt
Beispiel 4
Wie zuvor bei Beispiel 3 nur ohne Doppelbenutzung der Buchstaben.
1.Ziehen : 6 Möglichkeiten
2.Ziehen : 5 Möglichkeiten
3.Ziehen : 4 Möglichkeiten
4.Ziehen : 3 Möglichkeiten
insgesamt: 543543=2!6!=6!(6−4)!
Allgemein:
Es gibt (n−1)(n−2)(n−k+1)=n!(n−k)!
Beispiel 5
„Lotto“ mit Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten: 4847464544
10109(
)
Aber: Die Reihenfolge ist bei echtem Lotto unwichtig. Für sechs feste Zahlen sind 6! Kombinationen in (*) enthalten.
Beispiel 6
Also: „echtes“ Lotto
16!=49!(49−6)!6!=
649
13106
Auswahlmöglichkeiten für k aus n Elementen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge:
kn=n!(n−k)!k!
Hierf&uume;r ben&oome;tigt man den Binomialkoeffizient der hier noch einmal ausf&uume;rlicher erkl&aame;rt wird.
mit 
inNkinNngek
Zusammenfassung Urnenmodell: Das Urnenmodell ist ein allgemeines Beispiel für die Kombinatorik. Hier ist die Idee ein Behältnis mit n Kugeln zu haben aus dem man k mal zieht. Die Beispiele von oben lassen sich durch das Modell und die dazugehörigen Formeln alle rechnen.
| Mit Zurücklegen | Ohne Zurücklegen | |
|---|---|---|
| Reihenfolge wichtig | (Beispiel 3) | (Beispiel 4) |
| Reihenfolge unwichtig | kn+k−1 (wird selten gebraucht, hier ist es aber der Vollständigkeit halber aufgeführt) | kn=n!(n−k)!k! (Beispiel 6) |
Beispiel 7
Wähle 3 Personen aus 10 aus. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Nach Urnenmodell: Ziehe 3 aus 10, ohne Zurück legen und ohne Reihenfolge.
Es gilt 310=3211098=120
Beispiel 8
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Skat spielen 32 Karten auf 3 Spieler (10 Karten) zu und Skat (2 Karten) zu verteilen?
Kombinationen f&ume;r den 1.Spieler
(Bemerkung: Es gibt auch noch andere Rechnungen, die auf das gleiche Ergebnis führen.)
Allgemein:
Es gibt
\displaystyle \dfrac{n!}{k_1! k_2! … k_i!}
Möglichkeiten, n Objekte auf i Gruppen zu verteilen, wobei jede Gruppe \displaystyle k_j Elemente haben soll.
(im Beispiel: \displaystyle n=32, j=4 Gruppen \displaystyle , k_1=10, k_2=10, k_3=10, k_4=2)
6. Mathematische Formalismen
6.1. Logische Grundlagen
6.2. Beweise
6.3. Mathematische Zeichen, Formeln und Texte
6.1. Logische Grundlagen (Aussagenlogik)
Beispiel 1 "7 ist gerade" f "7 ist eine Primzahl" w "7 teilt 42" w "7 < 3" f
A - Aussagen
Aussagen (im mathematischen Sinne) haben einen Wahrheitswert, n&aume;mlich wahr(w, 1) oder falsch(f, 0). Das heisst bei einer Aussage muss sicher fest stehen ob sie wahr oder falsch ist. S&aume;tze wie "Mathe ist doof" oder "Es regnet" sind daher im mathematischen Sinne keine Aussagen, da sie nicht eindeutig wahr oder falsch sind.
Aussagen koennen mit A, B, C, ... bezeichnet werden. z.B. A: "3 < 7"
B - Verknuepfung von Aussagen
logisches "und" ( \displaystyle \wedge )
A : "\displaystyle 5 \le 7 " w B : "\displaystyle 7 \ge 3 " w
\displaystyle A \wedge B : "5 \le 7" und "\displaystyle 7 \ge 3 " w
| A | B | A \displaystyle \wedge B |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | f |
| f | w | f |
| f | f | f |
logisches "oder" (\displaystyle \vee ) (lat. vel = oder)
| A | B | A \displaystyle \vee B |
|---|---|---|
| w | w | w |
| w | f | w |
| f | w | w |
| f | f | f |
Beispiel 2 A: "\displaystyle \pi > 0 " w B: "7 teilt 42 " w A \displaystyle \vee B w
c - Verneinung
\displaystyle \neg "nicht" z.B. A: "\displaystyle 3 < 7 " \displaystyle \neg A: "\displaystyle 3 \ge 7 "
| A | \displaystyle \neg A |
|---|---|
| w | f |
| f | w |
D - Tautologische Aequivalenzen
Betrachte \displaystyle \neg A und \displaystyle \neg \neg \neg A
| A | \displaystyle \neg A | \displaystyle \neg \neg A | \displaystyle \neg \neg \neg A |
|---|---|---|---|
| w | f | w | f |
| f | w | f | w |
\displaystyle \neg A und \displaystyle \neg \neg \neg A liefern fuer jeden Wahrheitswert von A denselben Wert. Dafuer schreibt man \displaystyle \neg A \displaystyle =\parallel = \neg \neg \neg A.
E - Regel von de Morgan
\displaystyle \neg (A \wedge B) =\parallel = \neg A \vee \neg B (= (\neg A) \vee (\neg B)) Beweis:
| A | B | A \displaystyle \wedge B | \displaystyle \neg(A\displaystyle \wedgeB) | \displaystyle \negA | \displaystyle \negB | \displaystyle \negA \displaystyle \vee \negB | ||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | w | f | f | f | f | ||||||||||||||||
| w | f | f | w | f | w | w | ||||||||||||||||
| f | w | f | w | w | f | w | - | f | f | f | w | w | w | w | * | * |
A: "Ich bin schlecht in Mathe." B: "Ich bin schlecht in Deutsch."
\displaystyle \neg (A \vee B) =\parallel = \neg A \wedge \neg B A: "Ich bin besoffen."
B: "Ich bin muede."