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Lösung 3.2:2

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Wir quadrieren zuerst die Gleichung

2x+7=(x+2)2 (*)

und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten

2x+7=x2+4x+4

oder

x2+2x−3=0.

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt

x2+2x−3=(x+1)2−12−3=(x+1)2−4.

Wir erhalten die Gleichung

(x+1)2=4

mit den Lösungen

  • x=−1+4=−1+2=1 
  • x=−1−4=−1−2=−3 

Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

  • x = -3:
 Linke Seite=2(−3)+7=−6+7=1 und
 Rechte Seite=(−3+2)2=1
  • x = 1:
 Linke Seite=21+7=2+7=9 und
 Rechte Seite=(1+2)2=9

Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

  • x = -3:
 Linke Seite=2(−3)+7=−6+7=1=1  und
 Rechte Seite=−3+2=−1
  • x = 1:
 Linke Seite=21+7=2+7=9=3 
 Rechte Seite=1+2=3

Daher ist x=1 die einzige Lösung der Gleichung (\displaystyle x=-3 ist eine Scheinlösung).


Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.

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