2.3 Quadratische Gleichungen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Quadratische Ergänzung
  • Quadratische Funktionen
  • Faktorisierung
  • Parabeln

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Quadratische Ergänzungen für quadratische Ausdrücke ausführen.
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen, und die Lösungen kontrollieren.
  • Wenn möglich, eine quadratische Gleichung faktorisieren.
  • Faktorisierte, oder fast faktorisierte quadratische Gleichungen direkt lösen.
  • Den kleinsten und größten Wert eines quadratischen Ausdruckes finden.
  • Parabeln zeichnen mittels quadratischer Ergänzung.

Quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung kann wie

\displaystyle x^2+px+q=0

geschrieben werden, wo \displaystyle x unbekannt ist, und \displaystyle p und \displaystyle q Konstanten sind.

Einfache quadratische Gleichungen kann man lösen, indem man einfach Wurzeln berechnet.

Die Gleichung \displaystyle x^2=a wo \displaystyle a > 0, hat zwei Lösungen (Wurzeln), nämlich \displaystyle x=\sqrt{a} und \displaystyle x=-\sqrt{a}.

Beispiel 1

  1. \displaystyle x^2 = 4 \quad hat die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt{4} = 2 und \displaystyle x=-\sqrt{4}= -2.
  2. \displaystyle 2x^2=18 \quad kann wie \displaystyle x^2=9 geschrieben werden, hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt9 = 3 und \displaystyle x=-\sqrt9 = -3.
  3. \displaystyle 3x^2-15=0 \quad kann wie \displaystyle x^2=5 geschrieben werden, hat also die Wurzeln \displaystyle x=\sqrt5 \approx 2{,}236 und \displaystyle x=-\sqrt5 \approx -2{,}236.
  4. \displaystyle 9x^2+25=0\quad hat keine Wurzeln, nachdem die linke Seite der Gleichung immer größer als 25 is, weil \displaystyle x^2 immer größer als 0 ist.

Beispiel 2

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ (x-1)^2 = 16.

    Indem wir zuerst \displaystyle x-1 betrachten, sehen wir, dass
    • \displaystyle x-1 =\sqrt{16} = 4\, also \displaystyle x=1+4=5,
    • \displaystyle x-1 = -\sqrt{16} = -4\, also \displaystyle x=1-4=-3.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2(x+1)^2 -8=0.

    Wir addieren \displaystyle 8 auf beiden Seiten der Gleichung, und dividieren danach durch \displaystyle 2,
    \displaystyle (x+1)^2=4 \; \mbox{.}

    Die Wurzeln sind

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{also} \quad x=-1+2=1\,\mbox{,}
    • \displaystyle x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{also} \quad x=-1-2=-3\,\mbox{.}

Um eine allgemeine quadratische Gleichung zu lösen, muss man das Prinzip der quadratischen Ergänzung benutzen.

Die binomische Formel lautet

\displaystyle x^2 + 2ax + a^2 = (x+a)^2\,.

Subtrahieren wir \displaystyle a^2 von beiden Seiten, bekommen wir

Quadratische Ergänzung:

\displaystyle x^2 +2ax = (x+a)^2 -a^2

Beispiel 3

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2 +2x -8=0.

    Wir benutzen die quadratische Ergänzung: \displaystyle x^2+2x (hier ist also \displaystyle a=1)
    \displaystyle \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,

    wo wir bei den unterstrichenen Termen die quadratische Ergänzung benutzt haben. Die Gleichung kann also wie

    \displaystyle (x+1)^2 -9 = 0,

    geschrieben werden, und diese Gleichung hat die Wurzeln

    • \displaystyle x+1 =\sqrt{9} = 3\,, also \displaystyle x=-1+3=2,
    • \displaystyle x+1 =-\sqrt{9} = -3\,, also \displaystyle x=-1-3=-4.
  2. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0.

    Wir dividieren zuerst beide Seiten durch 2
    \displaystyle x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}

    Jetzt benutzen wir quadratische Ergänzung auf der linken Seite (mit \displaystyle a=-\tfrac{1}{2})

    \displaystyle \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1\,.

    Dies ergibt die Gleichung

    \displaystyle \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\mbox{.}

    mit den Wurzeln

    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{3}{2},
    • \displaystyle x-\tfrac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad, also \displaystyle \quad x=\tfrac{1}{2}-1= -\tfrac{1}{2}.

Hinweis:

Wir können unsere Lösungen immer kontrollieren, indem wir sie in der ursprünglichen Gleichung einsetzen. Im Beispiel 3a oben, haben wir zwei Lösungen zu kontrollieren:

  • \displaystyle x = 2 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2^2 +2\cdot 2 - 8 = 4+4-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.
  • \displaystyle x = -4 ergibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = (-4)^2 + 2\cdot(-4) -8 = 16-8-8 = 0 = \mbox{Rechte Seite}.

In beide Fällen erhalten wir linke Seite = rechte Seite. Also sind unsere Lösungen richtig.

Mit der quadratischen Ergänzung kann man eine generelle Lösungsformel für quadratische Gleichungen herleiten

\displaystyle x^2+px+q=0

hat die Lösungen

\displaystyle x = - \displaystyle\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}\,,

solange die Ausdrücke in der Wurzel nicht negativ sind.

In manchen Fällen kann man eine quadratische Gleichung einfach faktorisieren, um die Lösungen zu erhalten.

Beispiel 4

  1. Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ x^2-4x=0.

    Wir können die linke Seite faktorisieren, nachdem der Faktor \displaystyle x in allen Termen auftritt
    \displaystyle x(x-4)=0.
    Die linke Seite der Gleichung ist null nur dann, wenn einer ihrer Faktoren null ist.
    • \displaystyle x =0,\quad oder
    • \displaystyle x-4=0\quad. Dies ergibt die Lösungen \displaystyle \quad x=4.


Quadratische Funktionen

Die Funktionen

\displaystyle \eqalign{y&=x^2-2x+5\cr y&=4-3x^2\cr y&=\textstyle\frac{1}{5}x^2 +3x}

sind Beispiele von quadratischen Funktionen. Die allgemeine Formel für eine quadratische Funktion ist

\displaystyle y=ax^2+bx+c\,,

wobei \displaystyle a, \displaystyle b und \displaystyle c Konstanten sind, und \displaystyle a\ne0.

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Folgende Figuren zeigen zwei typische Parabeln, die Graphen von \displaystyle y=x^2 und \displaystyle y=-x^2.

[Image]

Die linke Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=x^2 und die rechte Figur zeigt die Parabel \displaystyle y=-x^2.


Nachdem der \displaystyle x^2-Term minimal ist, wenn \displaystyle x=0, hat die Parabel \displaystyle y=x^2 ein Minimum in \displaystyle x=0, und die Parabel \displaystyle y=-x^2 hat ein Maximum in \displaystyle x=0.

Die beiden Parabeln oben sind auch symmetrisch um die \displaystyle y-Achse, nachdem der Wert von \displaystyle x^2 derselbe ist, egal ob \displaystyle x positiv oder negativ ist.

Beispiel 5

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2-2.

    Im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2 hat diese Parabel(\displaystyle y=x^2-2) einen \displaystyle y-Wert, der 2 Einheiten kleiner ist. Also schieben wir die Parabel \displaystyle y=x^2 einfach zwei Einheiten herunter.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=(x-2)^2.

    Für die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2 müssen wir den \displaystyle x-Wert um zwei Einheiten größer wählen als für die Parabel \displaystyle y=x^2, um denselben \displaystyle y-Wert zu bekommen. Also ist die Parabel \displaystyle y=(x-2)^2, die Parabel \displaystyle y=x^2 zwei Einheiten nach rechts verschoben.

[Image]

  1. Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=2x^2.

    Jeder Punkt auf der Parabel \displaystyle y=2x^2 hat für denselben \displaystyle x-Wert einen zwei Mal so großen \displaystyle y-Wert als die Parabel \displaystyle y=x^2. Also müssen wir die Parabel \displaystyle y=x^2 um einen Faktor \displaystyle 2 in der \displaystyle y-Richtung vergrößern, um die Parabel \displaystyle y=2x^2 zu bekommen.

[Image]

Eine allgemeine Parabel kann einfach gezeichnet werden, indem man die quadratische Ergänzung verwendet.

Beispiel 6

Zeichnen Sie die Parabel \displaystyle \ y=x^2+2x+2.


Wenn wir die linke Seite der Gleichung mit der quadratischer Ergänzung umschreiben, bekommen wir

\displaystyle x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1

und sehen, dass die Parabel \displaystyle y= (x+1)^2+1 um eine Einheit nach links, und um eine Einheit nach oben verschoben ist, im Vergleich zur Parabel \displaystyle y=x^2.

[Image]

Beispiel 7

Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, mit der \displaystyle x-Achse.


Alle Punkte auf der \displaystyle x-Achse haben den \displaystyle y-Koordinaten 0. Die Punkte, die auf der Parabel und auch auf der \displaystyle x-Achse liegen, haben also die \displaystyle y-Koordinate 0 und erfüllen die Gleichung

\displaystyle x^2-4x+3=0\mbox{.}

quadratische Ergänzung gibt

\displaystyle x^2-4x+3=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1

und schließlich

\displaystyle (x-2)^2= 1 \; \mbox{.}

Wir erhalten die Wurzeln

  • \displaystyle x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad, also \displaystyle \quad x=2+1=3,
  • \displaystyle x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad, also \displaystyle \quad x=2-1=1.

Die Schnittpunkte der \displaystyle x-Achse mit der Parabel \displaystyle \,y=x^2-4x+3\, sind \displaystyle (1,0) und \displaystyle (3,0).

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Beispiel 8

Bestimmen Sie den kleinsten Wert des Ausdruckes \displaystyle \,x^2+8x+19\,.


Wir verwenden die quadratische Ergänzung

\displaystyle x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3

und sehen hier, dass der Ausdruck immer gleich oder größer als 3 ist, nachdem die Quadrate \displaystyle (x+4)^2 immer größer oder gleich 0 ist.

In der Figur unten sehen wir, dass die Parabel \displaystyle y=x^2+8x+19 oberhalb der \displaystyle x-Achse liegt, und den kleinsten Wert 3 hat, wenn \displaystyle x=-4.

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Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Nehmen Sie sich viel Zeit, um Algebra ordentlich zu lernen. Algebra ist das Alphabet der Mathematik, und kommt überall sonst in der Mathematik vor.


Reviews

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Mehr über Quadratische Gleichungen in der Wikipedia

Learn more about quadratic equations in mathworld

101 uses of a quadratic equation - by Chris Budd and Chris Sangwin


Nützliche Websites

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