3.2 Wurzelgleichungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
- Scheinlösungen
Lernziele
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Einfache Wurzelgleichungen durch Quadrieren lösen.
- Scheinlösungen erkennen.
Gleichungen mit Wurzeln
Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel:
| \displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,, |
| \displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,, |
| \displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.} |
Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall, wo wir Quadratwurzeln haben) und löst die quadratische Gleichung, die daraus entsteht. Bei diesem Schritt muss man aber bedenken, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht unbedingt auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach dem Quadrieren positiv werden, entstehen sogenannte Scheinlösungen, welche die quadrierte Gleichung lösen, nicht aber die ursprüngliche Gleichung.
Beispiel 1
Wir betrachten folgende einfache Gleichung:
| \displaystyle x = 2\mbox{.} |
Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir
| \displaystyle x^2 = 4\mbox{.} |
Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 die ursprüngliche Gleichung nicht löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung, die durch das Quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.
Beispiel 2
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.
Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten, und erhalten
| \displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2 |
Wir multiplizieren die rechte Seite aus (binomischen Formel)
| \displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.} |
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir als
| \displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.} |
schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.
Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko, dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen, ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
- \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also erfüllt.
- \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also nicht erfüllt.
Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.
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Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
Bedenken Sie folgendes:
Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht unbedingt Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Sie sollen immer testen, ob Ihre Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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