4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Der trigonometrische Pythagoras
  • Die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln
  • Die Additionstheoreme

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • Trigonometrische Identitäten durch den Einheitskreis herleiten.
  • Trigonometrische Ausdrücke mit den trigonometrischen Identitäten vereinfachen.

Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln, um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln nennt man meist die trigonometrischen Identitäten. Wir werden hier einige trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrischen Pythagoras hergeleitet werden, die deshalb zentrale Identitäten sind.

Der trigonometrische Pythagoras

Dieses Gesetz ist eigentlich nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras für Dreiecke im Einheitskreis. Durch das rechtwinklige Dreieck im Bild sehen wir, dass

\displaystyle (\sin v)^2 + (\cos v)^2 = 1\,\mbox{,}

das normalerweise als \displaystyle \sin^2\!v + \cos^2\!v = 1 geschrieben wird.

[Image]


Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

\displaystyle 
 \begin{align*}
   \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
   \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
 \end{align*}
 \qquad\quad
 \begin{align*}
   \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
   \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
   \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
   \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
 \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.


Spiegelung in der x-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der x-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle -v.

Die Spiegelung wikt sich nicht auf die x-Koordinate aus, während die y-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Spiegelung in der y-Achse

[Image]


Durch Spiegelung an der y-Achse wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi-v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der negativen x-Achse)

Die Spiegelung wirkt sich nicht auf die y-Koordinate aus, während die x-Koordinate ihr Vorzeichen tauscht.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Spiegelung in der Geraden y = x

[Image]


Durch eine Spiegelung in der Geraden wird der Winkel \displaystyle v, \displaystyle \pi/2 - v (Der gespiegelte Winkel bildet den Winkel \displaystyle v mit der positiven y-Achse).


Durch die Spiegelung tauschen die x- und die y- Koordinaten ihre Plätze.

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
   \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}


Drehung um den Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

[Image]


Durch eine Umdrehung von \displaystyle \pi/2 wird der Winkel \displaystyle v zu \displaystyle v+\pi/2.

Durch die Drehung wird die Koordinate \displaystyle (x,y) zu \displaystyle (-y,x).

\displaystyle \begin{align*} 
   \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
 \end{align*}


Die Additionstheoreme, die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme

\displaystyle \begin{align*} 
   \sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Um die Doppelwinkelfunktionen \displaystyle \sin 2v und \displaystyle \cos 2v zu erhalten, kann man die Sonderfälle \displaystyle \sin(v + v) und \displaystyle \cos(v + v) der Additionstheoreme betrachten

\displaystyle \begin{align*} 
   \sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
   \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Indem man in diese Formel \displaystyle 2v mit \displaystyle v ersetzt und natürlich auch \displaystyle v mit \displaystyle v/2, erhält man für \displaystyle \cos 2v

\displaystyle 
 \cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

Durch den trigonometrischen Pythagoras werden wir den Term \displaystyle \cos^2(v/2) los

\displaystyle 
 \cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
        = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

also

\displaystyle 
 \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Man kann natürlich auch den trigonometrischen Pythagoras verwenden, um den Term \displaystyle \sin^2(v/2) loszuwerden. So erhalten wir statt dessen

\displaystyle 
 \cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die Links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Der Einheitskreis ist ein sehr nützliches Hilfsmittel, um trigonometrische Identitäten herzuleiten. Es gibt sehr viele verschiedene trigonometrische Identitäten, und man kann sie nicht alle auswendig lernen. Deshalb ist es gut, sie herleiten zu können. Der trigonometrische Pythagoras ist zum Beispiel nur ein Sonderfall des Gesetzes von Pythagoras im Einheitskreis.

Nützliche Websites

Experiment with the cosine “box”

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/4.3_Trigonometrische_Eigenschaften“