Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Zeichnen wir den Einheitskreis mit der Geraden \displaystyle y=(-1/\!\sqrt{3})x, was also den Winkel mit den Tangens \displaystyle -1/\!\sqrt{3} entspricht, sehen wir dass es zwei Winkeln gibt die die Gleichung \displaystyle \tan v = -1/\!\sqrt{3} erfüllen. Diese liegen gegenüber von einander im zweiten und im vierten Quadrant.

Wir betrachten nur den vierten Quadrant, und führen ein neues Dreieck ein, siehe Bild.

Wir benennen die Ankathete \displaystyle x und nachdem \displaystyle \tan v=-1/\!\sqrt{3} ist die Länge der Gegenkathete \displaystyle x/\!\sqrt{3}.

Durch das Gesetz des Pythagoras erhalten wir

\displaystyle x^2 + \Bigl(\frac{x}{\sqrt{3}}\Bigr)^2 = 1^2

Diese Gleichung hat die positive Lösung \displaystyle x = \sqrt{3}/2, und also haben wir

\displaystyle \cos\alpha = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,,

also ist \displaystyle \alpha = \pi/6. Nachdem der Winkel \displaystyle v das Komplement des Winkels \displaystyle \alpha ist, ist \displaystyle v

\displaystyle v = 2\pi - \alpha = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi }{6}\,\textrm{.}

Subtrahieren wir \displaystyle \pi von \displaystyle v erhalten wir den anderen Winkel in zweiten Quadrant,

\displaystyle v = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi}{6}\,\textrm{.}