Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Die rechte und linke Seite, sind für alle x positiv, und also können wir die beiden Seiten der Gleichung logarithmieren,

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \ln 2^{-x^{2}} = -x^{2}\cdot \ln 2\,,\\[5pt] \text{Rechte Seite} &= \ln \bigl(2e^{2x}\bigr) = \ln 2 + \ln e^{2x} = \ln 2 + 2x\cdot \ln e = \ln 2 + 2x\cdot 1\,\textrm{.} \end{align}

Diese Gleichung entspricht

\displaystyle x^{2}+\frac{2}{\ln 2}x+1=0\,\textrm{.}

Wir lösen die Gleichung durch quadratische Ergänzung

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} + 1 = 0\,,

und sammeln alle Terma auf einer Seite,

\displaystyle \Bigl(x+\frac{1}{\ln 2}\Bigr)^{2} = \Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2} - 1\,\textrm{.}

Es kann schwierig sein zu sehen ob die rechte Seite positiv oder negativ ist. Aber wir haben \displaystyle e > 2 und daher \displaystyle \ln 2 < \ln e = 1\,. Also haben wir \displaystyle (1/\ln 2)^{2} > 1\,, und die rechte Seite ist also positiv.

Daher hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x=-\frac{1}{\ln 2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{1}{\ln 2} \Bigr)^{2}-1}\,,

welches auch wie

\displaystyle x=\frac{-1\pm \sqrt{1-(\ln 2)^{2}}}{\ln 2}\,\textrm{.}

geschrieben werden kann.