Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir schreiben die Gleichung wie

\displaystyle \bigl(e^{x}\bigr)^{2} + e^{x} = 4

und sehen dass \displaystyle x nur in den \displaystyle e^{x}-Termen vorkommt, und daher betrachten wir \displaystyle e^{x} als unbekannter Variabel. Wenn wir \displaystyle e^{x} bestimmt haben, bestimmen wir \displaystyle x indem wir die Gleichung logarithmieren.

Um die Rechnungen zu vereinfachen, schreiben wir \displaystyle t=e^{x}, und erhalten so die Gleichung

\displaystyle t^{2}+t=4

Diese quadratische Gleichung lösen wir durch quadratische Ergänzung,

\displaystyle t^{2}+t = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2}-\Bigl( \frac{1}{2} \Bigr)^{2} = \Bigl( t+\frac{1}{2} \Bigr)^{2} - \frac{1}{4}\,,

und wir erhalten

\displaystyle \Bigl(t+\frac{1}{2}\Bigr)^{2} - \frac{1}{4} = 4\quad \Leftrightarrow \quad t = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Die Wurzeln sind also zwei mögliche Werte für \displaystyle e^{x},

\displaystyle e^{x}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{17}}{2}\qquad\text{or}\qquad e^{x} = -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}\,\textrm{.}

Im ersten Fall ist die rechte Seite der Gleichung negativ, und nachdem die Linke Seite immer positiv ist, hat diese Gleichung keine Lösung. Im anderen Fall sind aber beide Seiten positiv, und wir logarithmieren beide Seiten, und erhalten

\displaystyle x=\ln \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\,\textrm{.}

Hinweis: In diesem Fall ist es schwierig die Lösung in der ursprünglichen Gleichung zu testen. Statt dessen testen wir ob \displaystyle t=\sqrt{17}/2-1/2 die Gleichung \displaystyle t^2+t=4 erfüllt,

\displaystyle \begin{align} \text{Linke Seite} &= \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)\\[5pt] &= \frac{17}{4}-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{17}}{2}+\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{17}}{2}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\[5pt] &= \frac{17+1-2}{4}\\[5pt] &=\frac{16}{4}\\[5pt] &= 4\\[5pt] &= \text{Rechte Seite.} \end{align}