Lösung 2.2:3c
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Wir erweitern die Brüche sodass sie einen gemeinsamen Nenner bekommen
| \displaystyle \begin{align}
\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} &= \frac{1}{x-1}\cdot\frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1}\cdot\frac{x-1}{x-1}\\[5pt] &= \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\[5pt] &= \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\[5pt] &= \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,\textrm{.} \end{align} |
Mit der Umschreibung \displaystyle 3x-3=3(x-1), bekommen wir die Gleichung
| \displaystyle \frac{2}{(x-1)(x+1)}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3(x-1)}\,\textrm{.} |
Wir multiplizieren jetzt beide Brüche mit dem Faktor \displaystyle x-1
| \displaystyle \frac{2}{x+1}\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \frac{6x-1}{3}\,\textrm{.} |
Danach multiplizieren wir beide Seiten mit 3 und \displaystyle x+1, so dass wir eine Gleichung ohne Nennern bekommen
| \displaystyle 6\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = (6x-1)(x+1)\,\textrm{.} |
Wir erweitern beide Seiten, und bekommen
| \displaystyle 6x^{2}+3=6x^{2}+5x-1\,\textrm{.} |
Die \displaystyle x^2-Terme können gekürzt werden, und wir bekommen
| \displaystyle 3=5x-1\,, |
mit der Lösung
| \displaystyle x=\frac{4}{5}\,\textrm{.} |
Wie immer kontrollieren wir unsere Lösung, indem wir \displaystyle x mit \displaystyle 4/5 in der ursprünglichen Gleichung substituieren
| \displaystyle \begin{align}
\text{Linke Seite} &= \biggl(\frac{1}{\frac{4}{5}-1}-\frac{1}{\frac{4}{5}+1}\biggr)\bigl( \bigl(\tfrac{4}{5}\bigr)^{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) = \biggl(\frac{1}{-\frac{1}{5}}-\frac{1}{\frac{9}{5}}\biggr)\bigl( \tfrac{16}{25}+\tfrac{1}{2}\bigr)\\[5pt] &= \bigl(-5-\tfrac{5}{9}\bigr)\cdot\frac{16\cdot 2+25}{2\cdot 25} = -\frac{50}{9}\cdot\frac{57}{50} = -\frac{57}{9} = -\frac{19}{3}\,,\\[15pt] \text{Rechte Seite} &= \frac{6\cdot\frac{4}{5}-1}{3\cdot\frac{4}{5}-3} = \frac{\frac{24}{5}-\frac{5}{5}}{\frac{12}{5}-\frac{15}{5}} = \frac{\frac{1}{5}\cdot (24-5)}{\frac{1}{5}\cdot (12-15)} = \frac{19}{-3} = -\frac{19}{3}\,\textrm{.} \end{align} |
