3.2 Wurzelgleichungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Gleichungen auf der Form \displaystyle \sqrt{ax+b}= cx +d
- Scheinlösungen
Lernziele
Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:
- Einfache Wurzelgleichungen durch quadrieren lösen.
- Scheinlösungen erkennen.
Gleichungen mit Wurzeln
Es gibt viele verschiedene Arten von Wurzelgleichungen, zum Beispiel;
| \displaystyle \sqrt{x} + 3x = 2\,, |
| \displaystyle \sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,, |
| \displaystyle \sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.} |
Um Wurzelgleichungen zu lösen, vereinfacht man die Gleichung zuerst, sodass die Wurzeln nur auf einer Seite der Gleichung vorkommen. Danach quadriert man die Gleichung (im Fall wo wir Quadratwurzeln haben), und löst die quadratische Gleichung die daraus entsteht. Bei diesen Schritt muss man aber bedenken dass die Lösungen der quadratischen Gleichung nicht notwendig auch Lösungen der Wurzelgleichung sind. Nachdem positive und negative Zahlen nach den quadrieren positiv werden, entstehen so genannte Scheinlösungen, die die quadrierte Gleichung lösen, aber nicht die ursprüngliche Gleichung.
Beispiel 1
Wir betrachten folgende triviale Gleichung:
| \displaystyle x = 2\mbox{.} |
If we square both sides of this equation, we get
| \displaystyle x^2 = 4\mbox{.} |
Die neue Gleichung hat die Lösungen \displaystyle x = 2 und \displaystyle x = -2. Die Lösung \displaystyle x = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, während die Lösung \displaystyle x = -2 nicht die ursprüngliche Gleichung löst. \displaystyle x = -2 ist also eine Scheinlösung die durch das quadrieren der ursprünglichen Gleichung entstand.
Beispiel 2
Lösen Sie die Gleichung \displaystyle \ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x.
Wir quadrieren die Gleichung auf beiden Seiten, und erhalten
| \displaystyle 4(x - 1) = (1 - x)^2 |
Wir erweitern die rechte Seite mit der binomischen Formel
| \displaystyle 4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.} |
Dies ist eine quadratische Gleichung, die wir wir
| \displaystyle x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.} |
schreiben können. Diese Gleichung lösen wir mit quadratischer Ergänzung, oder mit der allgemeinen Lösungsformel. Die Lösungen sind \displaystyle x = 3 \pm 2, also \displaystyle x = 1 und \displaystyle x = 5.
Nachdem wir die ursprüngliche Gleichung quadriert haben, besteht das Risiko dass Scheinlösungen entstanden sind. Wir müssen daher testen ob die beiden Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
- \displaystyle x = 1 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 1 = 0. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} = \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also erfüllt.
- \displaystyle x = 5 gibt \displaystyle \mbox{Linke Seite} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 und \displaystyle \mbox{Rechte Seite} = 1 - 5 = -4. Also \displaystyle \mbox{Linke Seite} \ne \mbox{Rechte Seite} und die Gleichung ist also nicht erfüllt.
Die Gleichung hat daher nur die eine Lösung \displaystyle x = 1.
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Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".
Bedenken Sie folgendes:
Wenn man eine Gleichung quadriert, können Scheinlösungen entstehen, weil eventuelle negative Ausdrücke positiv werden. Deshalb sind die Lösungen der quadrierten Gleichung nicht notwendig Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Sie sollen immer testen ob Ihre Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen
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