1.1 Verschiedene Zahlen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Contents:
- Natürliche Zahlen
- Negative Zahlen
- Operatorrangfolge und klammern
- Rationale Zahlen
- Irratiolale Zahlen (übersichtlich)
- Reelle Zahlen
Lernziele
Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:
- Die vier Grundrechnungsarten der Arithmetik beherschen.
- Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
- Quoten als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt.
- Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu bestimmen.
- Quoten und Dezimalzahlen korrekt runden.
Berechnungen mit Zahlen
Berechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechnungsarten der Arithmetik. Volgende Begriffe sind wichtig in der Mathematik:
Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal
Vorlage:Displayed math
Bei der Subtraktion im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.
Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen, meint man meistens die größte Zahl subtrahiert mit der kleineren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3.
Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal
Vorlage:Displayed math
Bei der Division im gegensinn, ist die Reihenfolge bedeutend.
Operatorrangfolge
In den Fällen wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechnungsarten enthält, ist es wichtig die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:
- Klammern (die innersten klammern zuerst)
- Multiplikation und Division (von links nach rechts)
- Addition und Subtraktion (von links nach rechts)
Beispiel 1
- \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
- \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
- \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26
"Unsichtbare" Klammern
Bei der Division soll der Zähler und der Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen dass um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.
Beispiel 2
- \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
- \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
- \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2
Dies muss man besonders beachten wenn man einen Taschenrechner benutzt.
Vorlage:Displayed math muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die Richtige Antwort \displaystyle 2 ergibt. Ein häufiger Fehler ist das man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.
Verschiedene Zahlen
Die Zahlen die wir normalerweise verwenden um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:
Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade, ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengerade kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, benennt man R. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an, indem eine Zahl rechts von einer anderen Zahl größer ist.
Die reellen Zahlen werden in folgenden Zahlenmengen unterschieden:
Natürliche Zahlen (normalerweise mit N bezeichnet)
Die natürlichen Zahlen verwendet man beim zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Ganze Zahlen (Z)
Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Rationale Zahlen (Q)
Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen die eine Quote zwischen ganzen sind, zum beispiel, Vorlage:Displayed math
Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen: Vorlage:Displayed math
Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel: Vorlage:Displayed math
Beispiel 3
- Indem man den Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert man nicht den Wärt der rationalen Zahl. Vorlage:Displayed math
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- Indem man den Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert man nicht den Wärt der rationalen Zahl. Vorlage:Displayed math
Irrationale Zahlen
Die Zahlen auf der Zahlgeraden die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen
\displaystyle \sqrt{2} and \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, sowie \displaystyle \pi
Dezimaldarstellung
Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden, mit beliebiger Anzahl von Dezimalen. Ziffern vor dem Komma werden mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle 1/10, 1/100, 1/1000, ... multipliziert werden
Beispiel 4
Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man die Division ausführt. Also ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75.
Read about long division on wikipedia.
Beispiel 5
- \displaystyle \frac{1}{2} = 0{.}5 = 0{.}5\underline{0}
- \displaystyle \frac{1}{3} = 0{.}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}
- \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}
- \displaystyle \frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}
(Die unterstrichenen Zahlen wiederholen sich)
Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt nur für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensinn zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
Das umgekehrte Verhältnis gilt auch; wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.
Beispiel 6
Die Zahlen \displaystyle \pi und \displaystyle \sqrt{2} sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.
- \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
- \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots
Beispiel 7
- \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
- \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
- \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}
Beispiel 8
Die Zahl \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots ist rational, nachdem sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als eine Quote zu schreiben, machen wir folgendes:
Wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts
Genauso verschiebt sich das Komma \displaystyle 3 Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 multiplizieren.
Vorlage:Displayed math Die Zahlen \displaystyle 1000\,x und \displaystyle 10\,x haben dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen ist
muss eine ganze Zahl sein
also ist
Rundung
Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen ab. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.
Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an dass eine Zahl abgerundet ist
Beispiel 9
Rundung zu 3 Dezimalstellen:
- \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
- \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
- \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
- \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000
Beispiel 10
Rundung zu 4 Dezimalstellen:
- \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
- \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667
Zahlen vergleichen
Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwändet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kan bestimmt werden indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt.
Beispiel 11
- Welche von den Zahlen \displaystyle x=\frac{1}{3} und \displaystyle y=0{,}33 ist am größten?
Folgendes gilt: Vorlage:Displayed math Also ist \displaystyle x>y nachdem \displaystyle 100/300 > 99/300.
Alternativ schreibt man beide Zahlen sls Dezimalzahlen, und sieht dass \displaystyle 1/3>0{,}33 nachdem \displaystyle 1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33. - Welche von den Zahlen \displaystyle \frac{2}{5} und \displaystyle \frac{3}{7} ist am größten?
Wir schreiben die Zahlen mit gemeinsamen Nenner, also \displaystyle 35 Vorlage:Displayed math Also ist \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} nachdem \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.
Tipps fürs lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du fertig mit der Theorie bist, sollst du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"
Vorsicht
Viele Lösungen sind falsch wegen Tippfehlern.
Literaturhinweise
For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references
Learn more about arithmetic in the English Wikipedia
Who discovered zero? Read more in "The MacTutor History of Mathematics archive"
Did you know that 0,999... = 1?
Nützliche Websites
How many colours are needed to colour a map? How many times does one need to shuffle a deck of cards? What is the greatest prime number? Are there any "lucky numbers"? What is the most beautiful number? Listen to the famous writer and mathematician Simon Singh, who among other things, tells about the magic numbers 4 and 7, about the prime numbers, about Keplers piles and about the concept of zero.
