1.1 Verschiedene Zahlen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Contents:
- Natural numbers
- Negative numbers
- Order of precedence and parenthesis
- Rational numbers
- Briefly about irrational numbers
- Real numbers
Learning outcomes:
After this section, you will have learned to:
- Calculate an expression that contains integers, the four arithmetic operations and parentheses.
- Know the difference between the natural numbers, integers, rational numbers and irrational numbers.
- Convert fractions to decimals, and vice versa.
- Determine which of the two fractions is the larger, either by a decimal expansion or by cross multiplication.
- Determine an approximate value to a decimal number and a fraction to a given number of decimal places.
Calculations with numbers
Calculating with numbers requires you to perform a series of operations. These are the four basic operations of arithmetic. Here are some concepts that are helpful to know in order to understand a mathematical text:
When you add numbers the sum does not depend on the order in which the terms are added together
Vorlage:Fristående formel
As regards subtraction, the order is important of course.
5-2 = 3medan2-5 =- 3. Vorlage:Fristående formel
When we talk about the difference between two numbers we usually mean the difference between the larger and the smaller . Thus, we understand that, the difference between 2 and 5 is 3.
When numbers are multiplied, their order is not important.
Vorlage:Fristående formel
For division the order is of importance.
Hierarchy of arithmetic operations (priority rules)
If several mathematical operations ioccur n a mathematical expression, it is important to have a standard on the order in which the operations are to be carried out. The following rules applies:
- Parentheses ( brackets, "innermost brackets" first)
- Multiplication and Division (from left to right)
- Addition and subtraction (from left to right)
Example 1
- \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
- \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
- \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26
"Invisible" parentheses
Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.
For division the numerator and the denominator must be calculated separately before the division is carried out. One can therefore say that there are "invisible parentheses" around the numerator and denominator.
Exempel 2
- \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
- \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
- \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2
This is especially important if calculators are used.
Division Vorlage:Fristående formel
must be written as\displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) on a calculator so that the correct answer \displaystyle 2 may be otained. A common mistake is to write \displaystyle 8 + 4/2 + 4, which the calculators interpretes as \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.
Different types of numbers
The numbers we use to describe the “how many” and size, etc.., are called generically the real numbers and can be illustrated by a straight line real-number axis:
The real numbers "fill" real-number axis:, ie. there are no holes or spaces are along the real-number axis.. Each point on the real-number axis can be specified by a decimal. The set of real numbers are all the decimals , and is denoted by “R”. The real-number axis also shows the relative magnitude of numbers of; a number to the right is always higher than a number to the left.It is usual to classify the real numbers into the following types:
Natural numbers (usually symbolized by the letter N)
The numbers which are used when we calculate “how many”: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Integers (Z)
The natural numbers and their negative counterparts: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Rational numbers (Q)
All the numbers that can be written as a ratio of whole numbers (fractions), for example, Vorlage:Fristående formel
Note that even integers count as rational numbers, because real-number axis Vorlage:Fristående formel
A rational number can be written in various ways since, for example,
Vorlage:Fristående formel
Example 3
- Multiplying the numerator and denominator of a rational number with the same factor does not change the value of the number Vorlage:Fristående formel
- Dividing the numerator and denominator of a rational number with the same factor called reducing and does not change the value of the number. Vorlage:Fristående formel
Irrational numbers
The numbers on the real-number axis that can not be written as a fraction are called irrational numbers. Examples of irrational numbers are most roots, for example
\displaystyle \sqrt{2} och \displaystyle \sqrt{3},but also numbers such as \displaystyle \pi
Decimal form
Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.
All types of real numbers can be written in decimal form, with an arbitrary number of decimal places. Decimal integers written to the right of the decimal point specify the number of tenths, hundredths, thousandths, and so on., In the same way as the integers to the left of the decimal point indicates the number of units, tens, hundreds, and so on.
Example 4
Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet A rational number can be written in decimal form by performing the division. Thus the
\displaystyle \textstyle\frac{3}{4} is the same as "3 divided by 4", i.e.. 0,75.
Read liggande stolen on wikipedia.
Exempel 5
- \displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}
- \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}
- \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}
- \displaystyle \frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}
(underlining signifies that the decimal is repeated)
As can be seen the rational numbers above has a periodic decimal expansion, ie. The decimal expansion, ends up with a finite block of digits that endlessly. This applies to all rational numbers and distinguish them from the irrational, which do not have a periodic pattern in itheir decimal expansion,.
Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal.
Exempel 6
Talen \displaystyle \pi och \displaystyle \sqrt{2} är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
- \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
- \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots
Exempel 7
- \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
- \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
- \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}
Exempel 8
Talet \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt.
Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
och multiplicerar vi talet med \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 flyttas decimalkommat tre steg åt höger
Nu ser vi att \displaystyle 1000\,x och \displaystyle 10\,x har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
blir ett heltal
Alltså är
Avrundning
Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
Vi använder symbolen \displaystyle \approx (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett.
Exempel 9
Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
- \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
- \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
- \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
- \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000
Exempel 10
Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
- \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
- \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667
Jämförelse av tal
Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare.
Exempel 11
- Vilket är störst av talen \displaystyle \frac{1}{3} och \displaystyle 0{,}33?
Vi har att Vorlage:Fristående formel Alltså är \displaystyle x>y eftersom \displaystyle 100/300 > 99/300.
Alternativt så kan man se att \displaystyle 1/3>0{,}33 eftersom \displaystyle 1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33. - Vilket tal är störst av \displaystyle \frac{2}{5} och \displaystyle \frac{3}{7}?
Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35: Vorlage:Fristående formel Alltså är \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} eftersom \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Att tänka på
Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.
Lästips
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om
Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia
Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive"
Liggande stolen - en beskrivning
Länktips
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
