2.2 Lineare Gleichungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Innehåll:
- Förstagradsekvationer
- Räta linjens ekvation
- Geometriska problem
- Områden som definieras av olikheter
Lärandemål:
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
- Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer.
- Omvandla mellan formerna y = kx + m och ax + by + c = 0.
- Skissera räta linjer utgående från ekvationen.
- Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer.
- Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa.
Förstagradsekvationer
För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får \displaystyle x ensamt i ena ledet.
Exempel 1
- Lös ekvationen \displaystyle x+3=7.
Subtrahera \displaystyle 3 från båda led- \displaystyle x+3-3=7-3.
- \displaystyle x=7-3=4.
- Lös ekvationen \displaystyle 3x=6.
Dividera båda led med \displaystyle 3- \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,.
- \displaystyle x=\frac{6}{3} = 2.
- Lös ekvationen \displaystyle 2x+1=5\,\mbox{.}
Först subtraherar vi båda led med \displaystyle 1 för att få \displaystyle 2x ensamt i vänsterledet- \displaystyle 2x=5-1.
- \displaystyle x = \frac{4}{2} = 2.
- \displaystyle 2x=5-1.
En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen \displaystyle ax=b. Lösningen är då helt enkelt \displaystyle x=b/a (man måste anta att \displaystyle a\not=0). De eventuella svårigheter som kan uppstå när man löser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.
Exempel 2
Lös ekvationen \displaystyle \,2x-3=5x+7.
Eftersom \displaystyle x förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi \displaystyle 2x från båda led
Vorlage:Fristående formel
och får \displaystyle x samlat i högerledet
Vorlage:Fristående formel
Nu subtraherar vi 7 från båda led
Vorlage:Fristående formel
och får \displaystyle 3x ensamt kvar i högerledet
Vorlage:Fristående formel
Det sista steget är att dividera båda led med \displaystyle 3
Vorlage:Fristående formel
och detta ger att
Vorlage:Fristående formel
Exempel 3
Lös ut \displaystyle x från ekvationen \displaystyle ax+7=3x-b.
Genom att subtrahera båda led med \displaystyle 3x
Vorlage:Fristående formel
Vorlage:Fristående formel
och sedan med \displaystyle 7
Vorlage:Fristående formel
Vorlage:Fristående formel
har vi samlat alla termer som innehåller \displaystyle x i vänsterledet och övriga termer i högerledet.
Eftersom termerna i vänsterledet har \displaystyle x som en gemensam faktor kan \displaystyle x brytas ut
Vorlage:Fristående formel
Dividera båda led med \displaystyle a-3
Vorlage:Fristående formel
Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.
Exempel 4
Lös ekvationen \displaystyle \ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2.
Utveckla kvadratuttrycken i båda leden
Vorlage:Fristående formel
Vorlage:Fristående formel
Subtrahera \displaystyle 4x^2 från båda led
Vorlage:Fristående formel
Addera \displaystyle 6x till båda led
Vorlage:Fristående formel
Subtrahera \displaystyle 49 från båda led
Vorlage:Fristående formel
Dividera båda led med \displaystyle 34
Vorlage:Fristående formel
Exempel 5
Lös ekvationen \displaystyle \ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}.
Flytta över båda termerna i ena ledet
Vorlage:Fristående formel
Förläng termerna så att de får samma nämnare
Vorlage:Fristående formel
och förenkla täljaren
Vorlage:Fristående formel
Vorlage:Fristående formel
Vorlage:Fristående formel
Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),
Vorlage:Fristående formel
vilket ger att \displaystyle \,x = -\frac{4}{5}.
Räta linjer
Funktioner av typen Vorlage:Fristående formel Vorlage:Fristående formel Vorlage:Fristående formel
är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen
där \displaystyle k och \displaystyle m är konstanter.
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten \displaystyle k anger linjens lutning mot \displaystyle x-axeln och \displaystyle m anger \displaystyle y-koordinaten för den punkt där linjen skär \displaystyle y-axeln.
Konstanten \displaystyle k kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv \displaystyle x-led på linjen ger \displaystyle k enheters förändring i positiv \displaystyle y-led. Det gäller därmed att om
- \displaystyle k>0\, så lutar linjen uppåt,
- \displaystyle k<0\, så lutar linjen nedåt.
För en horisontell linje (parallell med \displaystyle x-axeln) är \displaystyle k=0 medan en vertikal linje (parallell med \displaystyle y-axeln) inte har något \displaystyle k-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen \displaystyle y=kx+m).
Exempel 6
- Skissera linjen \displaystyle y=2x-1.
Jämför vi linjens ekvation med \displaystyle y=kx+m så ser vi att \displaystyle k=2 och \displaystyle m=-1. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är \displaystyle 2 och att den skär \displaystyle y-axeln i punkten \displaystyle (0,-1). Se figuren till vänster nedan. - Skissera linjen \displaystyle y=2-\tfrac{1}{2}x.
Linjens ekvation kan skrivas som \displaystyle y= -\tfrac{1}{2}x + 2 och då ser vi att dess riktningskoefficient är \displaystyle k= -\tfrac{1}{2} och att \displaystyle m=2. Se figuren nedan till höger.
| 2.2 - Figur - Linjen y = 2x - 1 | 2.2 - Figur - Linjen y = 2 - x/2 | |
| Linjen y = 2x - 1 | Linjen y = 2 - x/2 |
Exempel 7
Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna \displaystyle (2,1) och \displaystyle (5,3)?
Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att \displaystyle 5-2=3 steg i \displaystyle x-led motsvaras av \displaystyle 3-1=2 steg i \displaystyle y-led på linjen. Det betyder att \displaystyle 1 steg i \displaystyle x-led måste motsvaras av \displaystyle k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3} steg i \displaystyle y-led. Alltså är linjens riktningskoefficient \displaystyle k= \frac{2}{3}.
Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex. i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter \displaystyle k_1 respektive \displaystyle k_2 som uppfyller \displaystyle k_2 = -\frac{1}{k_1}, vilket också kan skrivas som \displaystyle k_1 k_2 = -1.
Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient \displaystyle k, dvs. \displaystyle 1 steg i \displaystyle x-led motsvaras av \displaystyle k steg i \displaystyle y-led. Om linjen vrids \displaystyle 90^\circ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient \displaystyle -\frac{1}{k} eftersom nu motsvaras \displaystyle -k steg i \displaystyle x-led av \displaystyle 1 steg i \displaystyle y-led.
Exempel 8
- Linjerna \displaystyle y=3x-1 och \displaystyle y=3x+5 är parallella.
- Linjerna \displaystyle y=x+1 och \displaystyle y=2-x är vinkelräta.
Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen
där \displaystyle a, \displaystyle b och \displaystyle c är konstanter.
Exempel 9
- Skriv linjen \displaystyle y=5x+7 i formen \displaystyle ax+by=c.
Flytta över \displaystyle x-termen till vänsterledet: \displaystyle -5x+y=7. - Skriv linjen \displaystyle 2x+3y=-1 i formen \displaystyle y=kx+m.
Flytta över \displaystyle x-termen i högerledet \displaystyle 3y=-2x-1 och dela båda led med \displaystyle 3 Vorlage:Fristående formel
Här kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.
Här kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.
Områden i koordinatsystem
Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.
Exempel 10
- Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle y\ge2.
Området ges av alla punkter \displaystyle (x,y) vars \displaystyle y-koordinat är \displaystyle 2 eller större, dvs. alla punkter på eller ovanför linjen \displaystyle y=2.
2.2 - Figur - Området y ≥ 2 - Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle y < x.
En punkt \displaystyle (x,y) som uppfyller olikheten \displaystyle y < x har en \displaystyle x-koordinat som är större än dess \displaystyle y-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen \displaystyle y=x.
2.2 - Figur - Området y mindre än x Att linjen \displaystyle y=x är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det färgade området.
Exempel 11
Skissera området i \displaystyle x,y-planet som uppfyller \displaystyle 2 \le 3x+2y\le 4.
Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter
Flyttar vi över \displaystyle x-termerna till högerledet och delar båda led med \displaystyle 2 får vi
De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen \displaystyle y \ge 1-\tfrac{3}{2}x medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen \displaystyle y\le 2-\tfrac{3}{2}x.
Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de färgade områdena ovan har gemensamt.
Exempel 12
Om vi ritar upp linjerna \displaystyle y=x, \displaystyle y=-x och \displaystyle y=2 så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.
Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.
Vi ser att dess \displaystyle y-koordinat måste vara mindre än \displaystyle 2. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränsas av \displaystyle y=0. \displaystyle y-koordinaten måste således ligga i intervallet \displaystyle 0\le y\le2.
För \displaystyle x-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att \displaystyle x-koordinaten måste ligga ovanför linjerna \displaystyle y=-x och \displaystyle y=x. Vi ser att detta är uppfyllt då \displaystyle -y\le x\le y. Eftersom vi redan har begränsningar för \displaystyle y-koordinaten så ser vi att \displaystyle x inte kan vara större än \displaystyle 2 eller mindre än \displaystyle -2 automatiskt.
Vi ser att basen i triangeln blir \displaystyle 4 längdenheter och höjden \displaystyle 2 längdenheter.
Arean av denna triangel blir alltså \displaystyle 4\cdot 2/2=4 areaenheter.
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Tänk på att...
Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.
Lästips
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:
Läs mer om räta linjens ekvation i Bruno Kevius matematiska ordlista
Länktips
