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Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Von den vorigen Übungen haben wir folgendes

21=0532=231=066653=351=302=06

Also haben wir 123523.

Nachdem es relativ umständlich ist 58 und 2134 als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Brüche mit gemeinsamen Nenner und vergleichen 58 und 2134 mit 12  35 und 23. Wir beginnen damit 58 mit 12  35 und 23 zu vergleichen.

• Dies ergibt

21=2414=84 , also 2185 .

• und

53=5838=4024 und 85=8555=4025 , also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.

• und schließlich

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, also \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.

Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;

Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\; und \displaystyle {2}/{3}\; dies ergibt

• \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}

• \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.

• \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, also \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.

Zusammen bekommen wir schließlich

\displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.