1.1 Verschiedene Zahlen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Natürliche Zahlen
  • Negative Zahlen
  • Operatorrangfolge und Klammern
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen (Übersicht)
  • Reelle Zahlen

Lernziele

Nach diesem Abschnitt sollst Du folgendes können:

  • Die vier Grundrechenarten der Arithmetik beherrschen.
  • Den Unterschied zwischen natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen kennen.
  • Brüche als Dezimalzahlen schreiben, und umgekehrt.
  • Den Wert zweier Zahlen vergleichen zu können.
  • Brüche und Dezimalzahlen korrekt runden.


A. Rechnungen mit Zahlen

Rechnungen mit Zahlen bestehen aus mehreren Schritten. Diese Schritte bestehen aus den vier Grundrechenarten der Arithmetik. Folgende Begriffe beschreiben die vier Grundrechenarten und sind daher in der Mathematik sehr wichtig:


[Image]


Bei der Addition ist die Reihenfolge der Zahlen egal

\displaystyle 3+4+5=3+5+4=5+4+3=12\,\mbox{.}

Bei der Subtraktion dagegen kommt es auf die Reihenfolge an.

\displaystyle 5-2=3 \quad \mbox{während} \quad 2-5=-3\,\mbox{.}

Mit dem Unterschied zwischen zwei Zahlen meint man meistens die kleinere Zahl subtrahiert von der größeren Zahl. Der Unterschied zwischen 2 und 5 ist also 3 und nicht -3.


Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Zahlen auch egal

\displaystyle 3 \cdot 4 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \,\mbox{.}

Bei der Division hingegen wieder nicht.

\displaystyle \frac{6}{3} = 2\quad\mbox{während}\quad\frac{3}{6} = 0{,}5 \,\mbox{.}


B - Operatorrangfolge

In den Fällen, wo ein mathematischer Ausdruck mehrere Rechenarten enthält, ist es wichtig, die Operatorrangfolge zu kennen. Ein Ausdruck soll in folgender Reihenfolge berechnet werden:

  • Klammern (die innersten Klammern zuerst)
  • Multiplikation und Division (von links nach rechts)
  • Addition und Subtraktion (von links nach rechts)


Beispiel 1

  1. \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
  2. \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
  3. \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26

C -"Unsichtbare" Klammern

Bei der Division sollen Zähler und Nenner zuerst berechnet werden, bevor man dividiert. Man kann also sagen, dass es um den Zähler und Nenner "unsichtbare klammern" gibt.

Beispiel 2

  1. \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
  2. \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
  3. \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2

Dies muss man besonders beachten, wenn man einen Taschenrechner benutzt.

\displaystyle \frac{8+4}{2+4}

muss als \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) geschrieben werden, sodass der Taschenrechner die richtige Antwort \displaystyle 2 gibt. Ein häufiger Fehler ist, dass man stattdessen \displaystyle 8 + 4/2 + 4 schreibt. Dies interpretiert der Rechner als \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.


D - Verschiedene Zahlen

Die Zahlen, die wir normalerweise verwenden, um beispielsweise Längen und Mengen zu messen, nennt man die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man mit einer Zahlengeraden darstellen:


[Image]


Die reellen Zahlen "füllen" die ganze Zahlengerade ohne Zwischenräume. Jeder Punkt in der Zahlengeraden kann durch eine Dezimalzahl dargestellt werden. Die Menge der reellen Zahlen, oder alle Dezimalzahlen, nennt man R. Die Zahlengerade zeigt auch die Größe der Zahlen an: von zwei Zahlen auf der Zahlengeraden ist diejenige Zahl, die links von der anderen steht, die kleinere der beiden Zahlen. Wir schreiben z.B. 0.5 < \displaystyle \sqrt{2} oder \displaystyle - \frac{4}{3} < e .


Man unterteilt die reellen Zahlen in folgende Mengen von Zahlen:


Natürliche Zahlen (normalerweise mit N bezeichnet)

Die natürlichen Zahlen verwendet man beim Zählen: 0, 1, 2, 3, 4, ... Wir schreiben auch N\displaystyle = \{ 0,1,2, \dots \} und benutzen \displaystyle a \in N , um auszudrücken, dass a eine natürliche Zahl ist.


Ganze Zahlen (Z)

Die ganzen Zahlen bestehen aus den natürlichen Zahlen, sowie deren negativen Gegenzahlen: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Wir schreiben auch Z\displaystyle = \{ 0,1,-1,2,-2, \dots \} und benutzen \displaystyle n \in Z , um auszudrücken, dass n eine ganze Zahl ist. Die natürlichen Zahlen sind Teil der ganzen Zahlen: N \displaystyle \subset Z.


Rationale Zahlen (Q)

Die rationalen Zahlen sind alle Zahlen, die ein Bruch ganzer Zahlen sind, deren Nenner nicht 0 ist. Zum Beispiel,

\displaystyle -\frac{3}{4},\ \frac{3}{2}, \ \frac{37}{128}, \quad\mbox{etc.}

Wir schreiben auch Q \displaystyle = \{ \frac{m}{n} \, |\, m,n \in Z \displaystyle , n \not= 0 \} .

Auch die ganzen Zahlen sind rationale Zahlen:

\displaystyle -1 = \frac{-1}{1},\quad 0 = \frac{0}{1},\quad 1 = \frac{1}{1},\quad 2 = \frac{2}{1},\quad\mbox{etc.}

Wir schreiben dafür auch Z \displaystyle \subset Q.

Eine rationale Zahl kann in mehreren Varianten dargestellt werden, zum Beispiel:

\displaystyle 2 = \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4} =\frac{100}{50}=\frac{384}{192}\quad\mbox{etc.}

Der Bruch, bei dem Zähler und Nenner den kleinst möglichen Betrag haben, nennt man den vollständig gekürzten Bruch.


Beispiel 3

  1. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl multipliziert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{1\cdot 2}{3\cdot 2}

    = \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}\quad\mbox{etc.}

  2. Wenn man Zähler und Nenner mit der selben Zahl dividiert, ändert sich der Wert der rationalen Zahl nicht.
    \displaystyle \frac{75}{105} =\frac{75/5}{105/5}

    = \frac{15}{21} = \frac{15/3}{21/3} = \frac{5}{7} \quad\mbox{etc.}

Irrationale Zahlen


Die Zahlen auf der Zahlengeraden, die nicht als rationale Zahlen dargestellt werden können, nennt man irrationale Zahlen. Zum Beispiel sind die meisten Wurzeln irrationale Zahlen:


\displaystyle \sqrt{2} und \displaystyle \sqrt{3}, aber auch andere Zahlen, wie \displaystyle \pi.

E - Dezimaldarstellung

Alle reellen Zahlen können als Dezimalzahlen dargestellt werden mit einer endlichen oder unendlichen Anzahl von Dezimalstellen. Dezimalstellen werden auch Nachkommastellen genannt.

[Image]

Um eine Dezimalzahl als Bruch zu schreiben, werden Ziffern vor dem Komma mit \displaystyle 1, 10, 100, ... multipliziert, während die Ziffern nach dem Komma mit \displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, ... multipliziert werden.

Beispiel 4

\displaystyle 1234{,}5678 = 1000 + 200 + 30 + 4 + \frac{5}{10} + \frac{6}{100} + \frac{7}{1000} + \frac{8}{10000}

Die Brüche \displaystyle \frac{5}{10} , \frac{8}{10000} und \displaystyle \frac{12 345 678}{10000} heissen auch Dezimalbrüche, weil ihr Nenner eine Potenz von 10 ist.

Eine rationale Zahl kann immer als eine Dezimalzahl dargestellt werden, indem man eine Division ausführt (z.B. ist \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} gleich "3 durch 4", oder 0,75) oder auf einen Dezimalbruch erweitert (z.B. ist \displaystyle \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75).

Mehr über [http://de.wikipedia.org/wiki/Schriftliche_Division Schriftliche Division] auf Wikipedia.

'''Beispiel 5'''

  1. \frac{1}{2} = 0{.}5 = 0{.}5\underline{0}</li>
  2. \displaystyle \frac{1}{3} = 0{.}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}</li>
  3. \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}</li>
  4. \displaystyle \frac{1}{7} =0{.}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}</li> </ol> (Die unterstrichenen Zahlen wiederholen sich) </div> Jede rationale Zahl besitzt eine periodische Dezimalbruchentwicklung, also eine Dezimalentwicklung, die sich endlos lang wiederholt. Dies gilt genau für die rationalen Zahlen. Die irrationalen Zahlen haben im Gegensatz zu den rationalen Zahlen eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung. Umgekehrt gilt auch: wenn eine Dezimalzahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat, ist sie rational.

    Beispiel 6

    Die Zahlen \displaystyle \pi und \displaystyle \sqrt{2} sind irrational, und haben daher eine nicht-periodische Dezimalbruchentwicklung.

    1. \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
    2. \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots

    Beispiel 7

    1. \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
    2. \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
    3. \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}

    Beispiel 8

    Die Zahl \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots ist rational, weil sie eine periodische Dezimalbruchentwicklung hat. Um die Zahl als Bruch in der Form \displaystyle x= \frac{m}{n} mit \displaystyle m,n \in Z , \displaystyle n \not= 0 zu schreiben, machen wir folgendes:

    Wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10 multiplizieren, verschiebt sich das Komma eine Stelle nach rechts.

    \displaystyle \quad 10\,x = 2{,}151515\,\ldots

    Genauso verschiebt sich das Komma \displaystyle 3 Schritte nach rechts wenn wir die Zahl mit \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 multiplizieren.

    \displaystyle \quad 1000\,x = 215{,}1515\,\ldots

    Die Zahlen \displaystyle 1000\,x und \displaystyle 10\,x haben nach dem Komma dieselbe Dezimalbruchentwicklung, und die Differenz zwischen den beiden Zahlen,

    \displaystyle \quad 1000x - 10x = 215{,}1515\,\ldots - 2{,}151515\,\ldots

    muss eine ganze Zahl sein, weil die Dezimalen nach dem Komma einander aufheben.

    \displaystyle \quad 990x = 213\mathrm{.}

    also ist

    \displaystyle \quad x =\frac{213}{990} = \frac{71}{330}\,\mbox{.}

    F - Rundung

    Um Platz in der Darstellung der Dezimalzahlen zu sparen, rundet man oft die Zahlen. Die Ziffern \displaystyle 0,\, 1,\, 2,\, 3,\, 4 werden abgerundet, während die Ziffern \displaystyle 5,\, 6,\, 7,\, 8,\, 9 aufgerundet werden.


    Das Symbol \displaystyle \approx (ist ungefähr gleich) zeigt an, dass eine Zahl gerundet ist.

    Beispiel 9

    Rundung auf 3 Dezimalstellen genau:

    1. \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
    2. \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
    3. \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
    4. \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000

    Beispiel 10

    Rundung auf 4 Dezimalstellen nach genau:

    1. \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
    2. \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667

    G - Zahlen vergleichen

    Um das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen zu zeigen, verwendet man die Verhältniszeichen > (größer als), < (kleiner als) und = (Gleichheitszeichen). Das Größenverhältnis zwischen zwei Zahlen kann bestimmt werden, indem man entweder die Zahl als eine Dezimalzahl darstellt, oder indem man rationale Zahlen mit gemeinsamen Nenner schreibt.

    Beispiel 11

    1. Welche von den Zahlen \displaystyle x=\frac{1}{3} und \displaystyle y=0{,}33 ist am größten?

      Folgendes gilt:
      \displaystyle x =\frac{1}{3} = \frac{100}{300}\quad\text{and}\quad y = 0{,}33 =\frac{33}{100} = \frac{99}{300}\mathrm{.}

      Also ist \displaystyle x>y weil \displaystyle 100/300 > 99/300.

      Oder man schreibt beide Zahlen als Dezimalzahlen und sieht, dass \displaystyle 1/3>0{,}33 weil \displaystyle 1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33.
    2. Welche von den Zahlen \displaystyle \frac{2}{5} und \displaystyle \frac{3}{7} ist am größten?

      Wir schreiben die Zahlen mit gemeinsamen Nenner, also \displaystyle 35
      \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{14}{35} \quad\text{und}\quad\frac{3}{7} = \frac{15}{35}\mathrm{.}
      Also ist \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} nachdem \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.


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    Übungen


    Tipps fürs Lernen


    Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

    Nachdem du mit der Theorie fertig bist, sollst du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die links zu den Prüfungen in deiner "Student Lounge"


    Vorsicht

    Sei so genau und exakt, wie es geht, beim Rechnen und beim Eingeben deiner Ergebnisse. So vermeidest du auch Fehler auf Grund von Tippfehlern.


    Literaturhinweise

    Für die, die tiefer in die Materie einsteigen wollen, sind hier einige Links angeführt:

    Mehr über die Grundrechenarten in der Wikipedia

    Wer hat die Null entdeckt ? Eine Antwort findest Du im "The MacTutor History of Mathematics archive" (engl.)

    Schriftliche Division (engl.)

    Wisst Ihr das 0,999... = 1 gilt?


    Nützliche Websites

    Wieviele Farben werden gebraucht um eine Karte einzufärben? Wie oft sollten Karten gemischt werden? Welche Primzahl ist die Größte? Git es "Glückszahlen"? Hör dem berühmten Autor und Mathematiker Simon Singh zu, wenn er von Primzahlen, den magischen Zahlen 4 und 7 und dem Konzept der Null erzählt.

    Hör Dir die BBC Sendung "5 Numbers" an (engl.)

    Hör Dir die BBC Sendung"Another 5 numbers" an (engl.)

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