Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Theorie

Übungen

Hinweise

Erläutern Sie ihre Lösung

Der wichtigste Hinweis ist:

Erläutern Sie ihre Lösung stets hinreichend.

Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwenden Sie Worte, um dies zu tun! Stellen Sie sich vor, Sie würden die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Sie brauchen nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch dürfen Sie keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn Sie diesen Rat befolgen, werden Sie 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.

Schreiben Sie gutes Deutsch

Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, sollten Sie trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn Ihre Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck bewirken und damit die Glaubwürdigkeit Ihrer Lösung unterlaufen. Ihre Ausdrucksweise ist wichtig!

Schreiben Sie Ihre Lösung zum Schluss sauber auf

Nachdem Sie das Problem gelöst haben, sollten Sie Ihre Lösung aufschreiben. Dabei können Sie sich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person Ihre Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit Sie, wenn Sie zum ersten Mal das Problem lösen, frei arbeiten können und sich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen müssen.

Wenn Sie eine Lösung eingeben, verwenden Sie ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms. Es mag einfacher für Sie sein, die Lösung auf ihrem eigenen PC mit Ihrem bevorzugten Programm zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird Ihre Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass Ihre Lösung editierbar bleibt, was ein Screenshot nicht leistet.

Klare Antworten

Schreiben Sie zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.

Vereinfachen Sie Ihre Antwort so weit wie möglich.

Gehen Sie schrittweise vor

Es kommt vor, dass Sie so genannte Scheinlösungen erhalten, wenn Sie Gleichungen lösen. Erklären Sie in diesem Fall, warum diese auftauchten und testen Sie die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.

Verlorene Lösungen. Wenn z.B. ein Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung herausgekürzt wird und nicht bemerkt wird, dass die Gleichung, die entsteht, wenn man den betreffenden Faktor gleich 0 setzt, zusätzliche Lösungen liefert.

Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsmethoden zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte (Vorsicht: verwechseln Sie diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen von Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise können Sie auch für Teilschritte durchführen.

Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setzen Sie Werte für einige der Parameter ein und vergewissern Sie sich damit, dass Sie die richtige Lösung haben. Was passiert z.B. wenn \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 oder wenn a nach unendlich geht.

Zeichnen Sie klare Bilder

Ein Bild kann oft viel besser als Text eingeführte Symbole erklären oder verdeutlichen. Verwenden Sie Bilder! Vergessen Sie nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überladen Sie sie nicht mit zu vielen Details. Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, wo jede einen Gedanken verdeutlicht, als ein großes Bild, das alles enthält.

Behandeln Sie Formeln als Teil des Texts

Es ist wichtig, dass Sie Ihre Lösung auf eine Weise aufschreiben, welche es anderen einfach macht, ihr zu folgen. Um Ihnen zu helfen, präsentieren wir Ihnen hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu demonstrieren, welche auftauchen, wenn man Formeln und Text mischt.

Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreiben Sie deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die dem Text voraus gehen.

Formeln können als Teil des Text oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert. . http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/skins/mathse/spacer.gif

Ein häufiger Fehler ist es, einen Doppelpunkt vor einer Formel zu verwenden.

Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achten Sie deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergessen Sie insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.

Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten müssen Sie später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn Sie müssen, können Sie oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.

Manchmal möchte man auf eine abgesetzte Formel oder Gleichung verweisen. In diesem Fall kann dies eine Nummer (oder ein Stern) sein in Klammern auf dem rechten oder linken Rand.

Häufige Fehler

Seien Sie vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem

Es gibt einen Unterschied zwischen \displaystyle \Rightarrow (Implikationspfeil), \displaystyle \Leftrightarrow (Äquivalenzpfeil) und \displaystyle = (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man \displaystyle \Leftrightarrow, um dies auszudrücken.

Wenn wir jedoch "Gleichung 1 \displaystyle \Rightarrow Gleichung 2" schreiben, heisst dies, dass Gleichung 2 alle Lösungen hat, die auch Gleichung 1 hat, nicht aber umgekehrt. (D.h. Gleichung 2 könnte mehr Lösungen haben.)

Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol \displaystyle \Leftrightarrow zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwenden Sie den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").

Das Gleichheitszeichen (\displaystyle =) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2-4x + 4, was für alle \displaystyle x gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte \displaystyle x. Zum Beispiel gilt \displaystyle (x - 2) ^2 = 4 nur für \displaystyle x = 0 oder \displaystyle x = 4. Sie sollten diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.

(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)

Der einfache Pfeil (\displaystyle \rightarrow) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: \displaystyle a \to \infty bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Sie werden vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.

Gehen Sie nicht unbedacht mit Klammern um

Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.

Wenn Sie mit algebraischen Ausdrücken arbeiten, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum \displaystyle 4\times x\times y\times z, sonder eher \displaystyle 4xyz.

Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man \displaystyle 1/2R schreibt, heißt dies \displaystyle 1 / (2R) und nicht \displaystyle (1 / 2) R. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben.

Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb sollte Sie nicht schreiben:

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) und \displaystyle \ln (x)\,,

sondern

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x und \displaystyle \ln x\,.

Tatsächlich sollten Sie \displaystyle \cos 2x und nicht \displaystyle \cos (2x) schreiben (da das Argument \displaystyle 2x durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn Sie \displaystyle \sin (x + y) schreiben, genauso bei \displaystyle \sin(x / 2) oder \displaystyle (\sin x)^2 (wobei Sie letzteres auch als \displaystyle \sin ^2\!x schreiben können).