Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir normalisieren die Gleichung, indem wir alle Terme durch 4 dividieren:

\displaystyle x^{2}-7x+\frac{13}{4}=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung ergibt

\displaystyle \begin{align} x^{2}-7x+\frac{13}{4} &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\frac{7}{2}\Bigr)^{2} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{49}{4} + \frac{13}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - \frac{36}{4}\\[5pt] &= \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9\,\textrm{.} \end{align}

Die Gleichung kann daher als

\displaystyle \Bigl(x-\frac{7}{2}\Bigr)^{2} - 9 = 0\,,

geschrieben werden, und wir erhalten die Wurzeln

• \displaystyle x-\frac{7}{2}=\sqrt{9}=3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}+3=\frac{13}{2},

• \displaystyle x-\frac{7}{2}=-\sqrt{9}=-3\,,\quad, also \displaystyle x=\frac{7}{2}-3=\frac{1}{2}.

Ersetzen wir x mit 1/2 und 13/2 in der ursprünglichen Gleichung, erhalten wir

• x = 1/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{1}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{1}{4}-14+13 = \text{Rechte Seite,}

• x = 13/2: \displaystyle \ \text{Linke Seite} = 4\cdot\bigl(\tfrac{13}{2}\bigr)^{2} - 28\cdot\tfrac{13}{2}+13 = 4\cdot\tfrac{169}{4} - 14\cdot 13 + 13 = \text{Rechte Seite.}

Also sind die Lösungen richtig.

Alternativer Lösungsweg: p-q_Formel