Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Nachdem \displaystyle \tan v = \frac{\sin v}{\cos v} ist, kann die linke Seite als ein einziger Bruch mit \displaystyle \cos v als Nenner geschrieben werden,

\displaystyle \frac{1}{\cos v} - \tan v = \frac{1}{\cos v} - \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{1-\sin v}{\cos v}\,\textrm{.}

Erweitern wir den Bruch mit \displaystyle 1+\sin v, erhalten wir mit der binomischen Formel und dem Satz des Pythagoras:

\displaystyle \begin{align} \frac{1-\sin v}{\cos v} &= \frac{1-\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1+\sin v}{1+\sin v}\\[5pt] &= \frac{1-\sin^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\\[5pt] &= \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)}\,\textrm{.} \end{align}

Wir kürzen den Faktor \displaystyle \cos v und erhalten

\displaystyle \frac{\cos^2\!v}{\cos v\,(1+\sin v)} = \frac{\cos v}{1+\sin v}\,\textrm{.}