4.3 Trigonometrische Eigenschaften

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Einführung

Es gibt viele trigonometrische Formeln um verschiedene trigonometrische Ausdrücke umzuwandeln. Diese Formeln benennt man meistens die Trigonometrische Identitäten- Wir werden hier einige Trigonometrische Identitäten zeigen, aber es gibt noch viele mehr. Die meisten können durch die Doppelwinkelfunktionen und durch den trigonometrische Pythagoras hergeleitet werden, die also sehr zentrale Identitäten sind.

Der trigonometrische Pythagoras

Symmetrien

Mit Spiegelungen im Einheitskreis, kann man viele Symmetrien der trigonometrischen Funktionen zeigen.

 \begin{align*}
   \cos (-v) &= \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
   \cos (\pi-v) &= - \cos v\vphantom{\Bigl(}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\vphantom{\Bigl(}\\
 \end{align*}
 \qquad\quad
 \begin{align*}
   \cos \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \sin v\\
   \sin \Bigl(\displaystyle \frac{\pi}{2} -v \Bigr) &= \cos v\\
   \cos \Bigl(v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= - \sin v\\
   \sin \Bigl( v + \displaystyle \frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\\
 \end{align*}

Wie gesagt kann man diese Symmetrien einfach mit dem Einheitskreis herleiten.

Spiegelung in der x-Achse

   \cos(-v) &= \cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (-v) &= - \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Spiegelung in der x-Achse

   \cos(\pi-v) &= -\cos v\,\mbox{,}\\
   \sin (\pi-v) &= \sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Spiegelung in der Geraden y = x

   \cos \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \sin v\,\mbox{.}\\
   \sin \Bigl(\frac{\pi}{2} - v \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Umdrehung mit dem Winkel \displaystyle \mathbf{\pi/2}

   \cos \Bigl(v+\frac{\pi}{2}\Bigr) &= -\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin \Bigl(v+\frac{\pi}{2} \Bigr) &= \cos v\,\mbox{.}
 \end{align*}

Die Additionstheoreme und die Doppelwinkelfunktionen und die Halbwinkelformeln

Oft kommen Ausdrücke mit Summen von Winkeln vor, sowie \displaystyle \sin(u+v). Sehr hilfreich sind bei solchen Ausdrücken die Additionstheoreme. Für Sinus und Kosinus lauten die Additionstheoreme

   \sin(u + v) &= \sin u\,\cos v + \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \sin(u – v) &= \sin u\,\cos v – \cos u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u + v) &= \cos u\,\cos v – \sin u\,\sin v\,\mbox{,}\\
   \cos(u – v) &= \cos u\,\cos v + \sin u\,\sin v\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

If one wants to know the sine or cosine of a double angle, that is \displaystyle \sin 2v or \displaystyle \cos 2v, one can write these expressions as \displaystyle \sin(v + v) or \displaystyle \cos(v + v) and use the addition formulas above and get the double-angle formulas

   \sin 2v &= 2 \sin v \cos v\,\mbox{,}\\
   \cos 2v &= \cos^2\!v – \sin^2\!v \,\mbox{.}\\
 \end{align*}

From these relationships, one can then get the formulas for half angles. By replacing \displaystyle 2v by \displaystyle v, and consequently \displaystyle v by \displaystyle v/2, in the formula for \displaystyle \cos 2v one gets that

 \cos v = \cos^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}\,\mbox{.}

If we want a formula for \displaystyle \sin(v/2) we use the Pythagorean identity to get rid of \displaystyle \cos^2(v/2)

 \cos v = 1 – \sin^2\!\frac{v}{2} – \sin^2\!\frac{v}{2}
        = 1 – 2\sin^2\!\frac{v}{2}

i.e.

 \sin^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 – \cos v}{2}\,\mbox{.}

Similarly, we can use the Pythagorean identity to get rid of \displaystyle \sin^2(v/2). Then we will have instead

 \cos^2\!\frac{v}{2} = \frac{1 + \cos v}{2}\,\mbox{.}

Übungen