3.3 Logarithmen

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Inhalt:

  • Logarithms
  • Fundamental Laws of Logarithms

Lernziele:

Nach diesem Abschnitt sollten Sie folgendes können:

  • The concepts of base and exponent.
  • The meaning of the notation \displaystyle \ln, \displaystyle \lg, \displaystyle \log and \displaystyle \log_{a}.
  • To calculate simple logarithmic expressions using the definition of a logarithm.
  • That logarithms are only defined for positive numbers.
  • The meaning of the number \displaystyle e.
  • To use the laws of logarithms to simplify logarithmic expressions.
  • To know when the laws of logarithms are valid.
  • To express a logarithm in terms of a logarithm with a different base.

Logarithmus zur Basis 10

Oft verwendet man Potenzen mit der Basis \displaystyle 10 um große Zahlen zu schreiben, zum Beispiel,

\displaystyle \begin{align*} 
   10^3 &= 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\,,\\
   10^{-2} &= \frac{1}{10 \cdot 10} = \frac{1}{100} = 0\textrm{.}01\,\mbox{.}
 \end{align*}

Wenn man den Exponenten betrachten sieht man dass:

"der exponent von 1000 3 ist", oder dass
"der Exponent von 0,01 -2 ist".

Genau so wird der Logarithmus definiert. Mehr formell geschrieben haben wir:

"Der Logarithmus von 1000 ist 3". Dies schreibt man \displaystyle \lg 1000 = 3,
"Der Logarithmus von 0.01 ist -2". Dies schreibt man \displaystyle \lg 0\textrm{.}01 = -2.

Mehr allgemein gilt folgendes

Der Logarithmus einer Zahl \displaystyle y wird \displaystyle \lg y benannt, und ist der Exponent, der die Gleichung
\displaystyle 10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\,\phantom{a}\,}} = y\,\mbox{.}

erfüllt. \displaystyle y muss eine positive Zahl sein, damit der Logarithmus \displaystyle \lg y definiert sein soll, nachdem eine Potenz mit einer Positiven Basis (wie 10) immer positiv ist.

Beispiel 1

  1. \displaystyle \lg 100000 = 5\quad nachdem \displaystyle 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\scriptstyle\,5\vphantom{,}\,}} = 100\,000.
  2. \displaystyle \lg 0\textrm{.}0001 = -4\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-4\vphantom{,}\,}} = 0\textrm{.}0001.
  3. \displaystyle \lg \sqrt{10} = \frac{1}{2}\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1/2\,}} = \sqrt{10}.
  4. \displaystyle \lg 1 = 0\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. \displaystyle \lg 10^{78} = 78\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,78\vphantom{,}\,}} = 10^{78}.
  6. \displaystyle \lg 50 \approx 1\textrm{.}699\quad nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\textrm{.}699\,}} \approx 50.
  7. \displaystyle \lg (-10) existiert nicht, nachdem \displaystyle 10^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,a\vphantom{b,}\,}} nie -10 werden kann, egal wie man \displaystyle a wählt.

Im Beispiel oben, kann man leicht sehen dass \displaystyle \lg 50 zwischen 1 und 2 liegen muss, nachdem \displaystyle 10^1 < 50 < 10^2. Um einen genaueren Wert von \displaystyle \lg 50 = 1\textrm{.}69897\ldots zu erhalten, braucht man aber einen Taschenrechner.

Beispiel 2

  1. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 100} = 100
  2. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg a} = a
  3. \displaystyle 10^{\textstyle\,\lg 50} = 50


Verschiedene Basen

Man kann auch Logarithmen für andere Basen als 10 definieren (außer die Basis 1). In diesem Fall muss man aber deutlich zeigen welche Zahl die Basis ist. Wenn man zum Beispiel die Basis 2 benutzt, schreibt man \displaystyle \log_{\,2}, und dies bedeutet "der Logarithmus in der Basis 2".

Beispiel 3

  1. \displaystyle \log_{\,2} 8 = 3\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 8.
  2. \displaystyle \log_{\,2} 2 = 1\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = 2.
  3. \displaystyle \log_{\,2} 1024 = 10\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,10\vphantom{,}\,}} = 1024.
  4. \displaystyle \log_{\,2}\frac{1}{4} = -2\quad nachdem \displaystyle 2^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}.

Die Rechnungen mit anderen Basen als 2 sind ganz analog.

Beispiel 4

  1. \displaystyle \log_{\,3} 9 = 2\quad nachdem \displaystyle 3^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2\vphantom{,}\,}} = 9.
  2. \displaystyle \log_{\,5} 125 = 3\quad nachdem \displaystyle 5^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,3\vphantom{,}\,}} = 125.
  3. \displaystyle \log_{\,4} \frac{1}{16} = -2\quad nachdem \displaystyle 4^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-2\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}.
  4. \displaystyle \log_{\,b} \frac{1}{\sqrt{b}} = -\frac{1}{2}\quad nachdem \displaystyle b^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-1/2\,}} = \frac{1}{b^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{b}} (if \displaystyle b>0 und \displaystyle b\not=1).

Wenn man in der Basis 10 rechnet, schreibt man selten \displaystyle \log_{\,10}, sondern man schreibt ganz einfach lg, oder log.


Der natürlicher Logarithmus

Die zwei am häufigsten verwendeten Logarithmen sind die mit der Basis 10, und der Zahl \displaystyle e \displaystyle ({}\approx 2\textrm{.}71828 \ldots\,). Die Logarithmen mit der Basis e werden natürliche Logarithmen benannt. Statt \displaystyle \log_{\,e} schreibt man \displaystyle \ln wenn man natürliche Logarithmen berechnet.

Beispiel 5

  1. \displaystyle \ln 10 \approx 2{,}3\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,2{,}3\,}} \approx 10.
  2. \displaystyle \ln e = 1\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,1\vphantom{,}\,}} = e.
  3. \displaystyle \ln\frac{1}{e^3} = -3\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,-3\vphantom{,}\,}} = \frac{1}{e^3}.
  4. \displaystyle \ln 1 = 0\quad nachdem \displaystyle e^{\scriptstyle\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,0\vphantom{,}\,}} = 1.
  5. If \displaystyle y= e^{\,a} dann ist \displaystyle a = \ln y.
  6. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln 5\vphantom{,}\,}} = 5
  7. \displaystyle e^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\ln x\vphantom{,}\,}} = x

Die meisten guten Taschenrechner können 10-Logarithmen und natürliche Logarithmen berechnen.


Logarithmengesetze

In den Jahren 1617-1624 veröffentlichte Henry Biggs eine Tabelle mit allen Logarithmen von den Zahlen bis zu 20000, und im Jahr 1628 erweiterte Adriaan Vlacq die Tabelle zu Zahlen bis zu 100000. Der Grund dieser Riesenarbeit war, dass man statt zwei Zahlen zu multiplizieren, die Logarithmen der beiden Zahlen addieren kann, und danach die Zahl aus den Logarithmus berechnen kann (dies ist viel effektiver als die Zahlen direkt zu multiplizieren).

Beispiel 6

Berechnen Sie \displaystyle \,35\cdot 54.

Wenn wir wissen dass \displaystyle 35 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} und \displaystyle 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}7324} (also dass \displaystyle \lg 35 \approx 1\textrm{.}5441 und \displaystyle \lg 54 \approx 1\textrm{.}7324) können wir den Produkt einfach berechnen,

\displaystyle 
 35 \cdot 54 \approx 10^{\,1\textrm{.}5441} \cdot 10^{\,1\textrm{.}7324}
             = 10^{\,1\textrm{.}5441 + 1\textrm{.}7324}
             = 10^{\,3\textrm{.}2765}

Wenn wir auch wissen dass \displaystyle 10^{\,3\textrm{.}2765} \approx 1890 (also \displaystyle \lg 1890 \approx 3\textrm{.}2765) haben wir es geschafft den Produkt

\displaystyle 35 \cdot 54 = 1890

nur mit Addition von den Exponenten \displaystyle 1\textrm{.}5441 und \displaystyle 1\textrm{.}7324 zu berechnen.

Dies ist ein Beispiel der Logarithmengesetze, nämlich

\displaystyle \log (ab) = \log a + \log b

Dies kommt von den Rechenregeln für Potenzen. Einerseits haben wir

\displaystyle 
 a\cdot b = 10^{\textstyle\log a} \cdot 10^{\textstyle\log b}
          = \left\{ \mbox{laws of exponents} \right\}
          = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log a+\log b\,}}

Aber anderseits haben wir auch

\displaystyle 
 a\cdot b = 10^{\,\bbox[#AAEEFF,1pt]{\,\log (ab)\,}}\,\mbox{.}

Mit den Rechenregeln für Potenzen, kann man ähnlich folgende Logarithmengesetze herleiten:

\displaystyle \begin{align*} 
   \log(ab) &= \log a + \log b,\\[4pt]
   \log\frac{a}{b} &= \log a - \log b,\\[4pt]
   \log a^b &= b\cdot \log a\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Die Logarithmengesetze gelten unabhängig von der Basis.

Beispiel 7

  1. \displaystyle \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28
  2. \displaystyle \lg 6 - \lg 3 = \lg\frac{6}{3} = \lg 2
  3. \displaystyle 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25
  4. \displaystyle \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2

Beispiel 8

  1. \displaystyle \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0{,}001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3 = \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3
  2. \displaystyle \ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left(\frac{1}{e} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\left( \frac{1}{(\sqrt{e}\,)^2} \cdot \sqrt{e}\,\right) = \ln\frac{1}{\sqrt{e}}
    \displaystyle \phantom{\ln\frac{1}{e} + \ln \sqrt{e}}{} = \ln e^{-1/2} = -\frac{1}{2} \cdot \ln e =-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}\vphantom{\biggl(}
  3. \displaystyle \log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \frac{1}{2} \log_2 (3^4)\vphantom{\Bigl(}
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = \log_2 2^2 + \log_2 3^2 - \frac{1}{2} \log_2 3^4
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2 \log_2 2 + 2 \log_2 3 - \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2 3
    \displaystyle \phantom{\log_2 36 - \frac{1}{2} \log_2 81}{} = 2\cdot 1 + 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2\vphantom{\Bigl(}
  4. \displaystyle \lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a} = 3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}
    \displaystyle \phantom{\lg a^3 - 2 \lg a + \lg\frac{1}{a}}{} = (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0


Basis wechseln

Manchmal will man Logarithmen in einer Basis, wie Logarithmen in einer anderen Basis schreiben.

Beispiel 9

  1. Schreiben Sie \displaystyle \lg 5 wie ein natürlicher Logarithmus.

    Laut Definition ist \displaystyle \lg 5 die Zahl die die Gleichung
    \displaystyle 10^{\lg 5} = 5\,\mbox{.}

    erfüllt. Indem wir den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten berechnen, erhalten wir

    \displaystyle \ln 10^{\lg 5} = \ln 5\,\mbox{.}

    Mit den Logarithmengesetz \displaystyle \ln a^b = b \ln a schreiben wir die linke Seite wie \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 und bekommen die Gleichung

    \displaystyle \lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5\,\mbox{.}

    Division durch \displaystyle \ln 10 ergibt die Antwort

    \displaystyle 
     \lg 5 = \frac{\ln 5}{\ln 10}
 \qquad (\approx 0\textrm{.}699\,,
 \quad\text{dvs.}\ 10^{0\textrm{.}699} \approx 5)\,\mbox{.}

  2. Schreiben Sie den 2-Logarithmus von 100 wie ein 10-Logarithmus, lg.

    Laut der Definition des Logarithmus, haben wir dass \displaystyle \log_2 100 die Gleichung
    \displaystyle 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100

    erfüllt. Wir logarithmieren beide Seiten (mit den 10-Logarithmus), und erhalten

    \displaystyle 
     \lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100\,\mbox{.}

    Nachdem \displaystyle \lg a^b = b \lg a erhalten wir \displaystyle \lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 und die rechte Seite ist einfach \displaystyle \lg 100 = 2. Dies gibt die Gleichung

    \displaystyle 
     \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2\,\mbox{.}

    Mit Division durch \displaystyle \lg 2 erhalten wir dass

    \displaystyle 
     \log_{\scriptstyle 2} 100 = \frac{2}{\lg 2}
 \qquad ({}\approx 6\textrm{.}64\,,
 \quad\text{that is}\ 2^{6\textrm{.}64}\approx 100 )\,\mbox{.}

Die allgemeine Formel um Basis von \displaystyle a zu \displaystyle b in Logarithmen zu tauschen lautet

\displaystyle 
 \log_{\scriptstyle\,a} x
  = \frac{\log_{\scriptstyle\, b} x}{\log_{\scriptstyle\, b} a}
  \,\mbox{.}

Wenn wir zum Beispiel \displaystyle 2^5 in der Basis 10 schreiben möchten, schreiben wir zuerst 2 in der Basis 10

\displaystyle 2 = 10^{\lg 2}

und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

\displaystyle 
 2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2}
 \quad ({}\approx 10^{1\textrm{.}505}\,)\,\mbox{.}

Beispiel 10

  1. Schreiben Sie \displaystyle 10^x in der natürlichen Basis e.

    Zuerst schreiben wir 10 in der Basis e,
    \displaystyle 10 = e^{\ln 10}

    und verwenden die Rechenregeln für Potenzen

    \displaystyle 
     10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{\,x \cdot \ln 10}
      \approx e^{2\textrm{.}3 x}\,\mbox{.}
  2. Schreiben Sie \displaystyle e^{\,a} in der Basis 10

    Die Zahl \displaystyle e kann wie \displaystyle e=10^{\lg e} geschrieben, und daher ist
    \displaystyle 
     e^a = (10^{\lg e})^a
     = 10^{\,a \cdot \lg e}
     \approx 10^{\,0\textrm{.}434a}\,\mbox{.}


Übungen

Tipps fürs Lernen

Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung

Nachdem Sie mit der Theorie fertig sind, sollten Sie die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Sie finden die links zu den Prüfungen in Ihrer "Student Lounge".


Bedenken Sie folgendes:

Lernen Sie die Logarithmengesetze ordentlich.

Viele Studenten in den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.


Reviews

For those of you who want to deepen your studies or need more detailed explanations consider the following references:

Learn more about logarithms in English Wikipedia

Learn more about the number e in The MacTutor History of Mathematics archive


Nützliche Websites

Experiment with logarithms and powers

Play logarithm Memory

Help the frog to jump onto his water-lily leaf in the "log" game

Von „http://wiki.sommarmatte.se/wikis/2009/bridgecourse1-TU-Berlin/index.php/3.3_Logarithmen“