Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Wir verwenden den trigonometrischen Pythagoras, und schreiben \displaystyle \sin^2\!x wie \displaystyle 1-\cos^2\!x, und erhalten die Gleichung

\displaystyle 2(1-\cos^2\!x) - 3\cos x = 0\,,

oder auch

\displaystyle 2\cos^2\!x + 3\cos x - 2 = 0\,\textrm{.}

With the equation expressed entirely in terms of \displaystyle \cos x, we can introduce a new unknown variable \displaystyle t=\cos x and solve the equation with respect to t. Expressed in terms of t, the equation is

\displaystyle 2t^2+3t-2 = 0

Dies ist eine quadratische Gleichung mit den Lösungen \displaystyle t=\tfrac{1}{2} und \displaystyle t=-2\,.

Also muss x einer der Gleichungen \displaystyle \cos x = \tfrac{1}{2} oder \displaystyle \cos x = -2 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x=\pm \frac{\pi}{3}+2n\pi\qquad

während die zweite Gleichung \displaystyle \cos x = -2 keine Lösungen hat.

Also hat die Gleichung die Lösungen

\displaystyle x = \pm\frac{\pi}{3} + 2n\pi\,,