Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Durch das Additionstheorem erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \sin x\cdot \cos y + \cos x\cdot \sin y\,\textrm{.}

Weiterhin ist es möglich die Terme \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y in Termen von \displaystyle \sin x und \displaystyle \sin y zu schreiben, mit dem Gesetz des Pythagoras

\displaystyle \begin{align} \cos x &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!x} = \pm \sqrt{1-(2/3)^2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}\,,\\[5pt] \cos y &= \pm \sqrt{1-\sin^2\!y} = \pm \sqrt{1-(1/3)^{2}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.} \end{align}

Nachdem x und y Winkeln im ersten Quadrant sind, sind \displaystyle \cos x und \displaystyle \cos y positiv, und wir erhalten dadurch

\displaystyle \cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}\qquad\text{and}\qquad\cos y = \frac{2\sqrt{2}}{3}\,\textrm{.}

Schließlich erhalten wir

\displaystyle \sin (x+y) = \frac{2}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3}\cdot \frac{1}{3} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}\,\textrm{.}