1.1 Verschiedene Zahlen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
Contents:
- Natural numbers
- Negative numbers
- Order of precedence and parenthesis
- Rational numbers
- Briefly about irrational numbers
- Real numbers
Learning outcomes:
After this section, you will have learned to:
- Calculate an expression that contains integers, the four arithmetic operations and parentheses.
- Know the difference between the natural numbers, integers, rational numbers and irrational numbers.
- Convert fractions to decimals, and vice versa.
- Determine which of the two fractions is the larger, either by a decimal expansion or by cross multiplication.
- Determine an approximate value to a decimal number and a fraction to a given number of decimal places.
Räkneoperationer med tal
Att arbeta med tal innebär att man utför en rad räkneoperationer. De grundläggande är de fyra räknesätten. Här följer några begrepp som är bra att kunna för att förstå matematisk text:
När man adderar tal är summan inte beroende av i vilken ordning termerna adderas
Vorlage:Fristående formel
När tal subtraheras är naturligtvis ordningen viktig Vorlage:Fristående formel
Om vi pratar om differensen mellan två tal menar vi vanligtvis skillnaden mellan det större och det mindre. Således menar vi att differensen mellan 2 och 5 är 3.
När tal multipliceras är ordningen mellan faktorerna inte viktig
Vorlage:Fristående formel
Vid division är ordningen av betydelse Vorlage:Fristående formel
Räkneordning i uttryck (Prioriteringsregler)
När flera räknesätt förekommer i ett matematiskt uttryck är det viktigt att man har en överenskommelse om i vilken ordning operationerna ska utföras. Följande gäller:
- Parenteser (parentesen "längst in" först)
- Multiplikation och division (från vänster till höger)
- Addition och subtraktion (från vänster till höger)
Exempel 1
- \displaystyle 3-(2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5) = 3-(\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5) = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(10-5)} = 3-5 = -2
- \displaystyle 3-2\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(3+2)}-5 = 3-\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}2\cdot 5}-5 = \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3-10}-5 = -7-5 = -12
- \displaystyle 5+3\cdot\Bigl(5- \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\frac{-4}{2}}\Bigr)-3\cdot(2+ \bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-4)}) = 5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5-(-2))} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2+(-2))} \displaystyle \qquad{}=5+3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(5+2)} -3\cdot\bbox[#FFEEAA;,1pt]{(2-2)} = 5+\bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 7} - \bbox[#FFEEAA;,1pt]{\vphantom{()}3\cdot 0} = 5+21-0 = 26
"Osynliga" parenteser
Vid division ska täljare och nämnare beräknas var för sig innan divisionen utförs. Man kan därför säga att det finns "osynliga parenteser" omkring täljare och nämnare.
Exempel 2
- \displaystyle \frac{7+5}{2} = \frac{12}{2} = 6
- \displaystyle \frac{6}{1+2} = \frac{6}{3} = 2
- \displaystyle \frac{12+8}{6+4} =\frac{20}{10} = 2
Speciellt viktigt är detta vid användandet av miniräknare.
Divisionen Vorlage:Fristående formel
måste skrivas \displaystyle (8 + 4 )/(2 + 4) på miniräknaren för att det korrekta svaret \displaystyle 2 ska erhållas. Ett vanligt misstag är att skriva \displaystyle 8 + 4/2 + 4, vilket av miniräknaren tolkas som \displaystyle 8 + 2 + 4 = 14.
Olika typer av tal
De tal vi använder oss av för att beskriva antal och mått, mm., kallas sammanfattningsvis för de reella talen och kan illustreras med hjälp av en tallinje:
De reella talen "fyller" tallinjen, dvs. inga hål eller mellanrum finns någonstans längs tallinjen. Varje punkt på tallinjen kan anges med hjälp av en följd av decimaler. Mängden av de reella talen är alla decimaltal och betecknas med R. Tallinjen visar också talen i storleksordning; ett tal till höger är alltid större än ett tal till vänster. Man brukar dela upp de reella talen i följande typer av tal:
Naturliga tal (symboliseras vanligen med bokstaven N)
De tal som används när man räknar antal: 0, 1, 2, 3, 4, ...
Heltal (Z)
De naturliga talen och deras negativa motsvarigheter: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
Rationella tal (Q)
Alla tal som kan skrivas som en kvot mellan heltal (bråk), t.ex. Vorlage:Fristående formel
Observera att även heltalen räknas som rationella tal, eftersom Vorlage:Fristående formel
Ett rationellt tal kan skrivas på flera olika sätt, eftersom t.ex. Vorlage:Fristående formel
Exempel 3
- Att multiplicera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma faktor kallas förlängning och förändrar inte talets värde Vorlage:Fristående formel
- Att dividera täljare och nämnare hos ett rationellt tal med samma tal kallas förkortning och förändrar inte heller talets värde Vorlage:Fristående formel
Irrationella tal
De tal på tallinjen som inte kan skrivas som bråk kallas irrationella tal. Exempel på irrationella tal är de flesta rötter, som \displaystyle \sqrt{2} och \displaystyle \sqrt{3}, men även talet \displaystyle \pi t.ex.
Decimalform
Alla typer av reella tal kan skrivas på decimalform, med ett godtyckligt antal decimaler. Decimalerna som skrivs till höger om decimalkommat anger antal tiondelar, hundradelar, tusendelar, osv., på samma sätt som siffrorna till vänster om decimalkommat anger antalet ental, tiotal, hundratal, osv.
Exempel 4
Ett rationellt tal kan skrivas på decimalform genom att utföra divisionen. Således är talet \displaystyle \textstyle\frac{3}{4} samma som "3 dividerat med 4", dvs. 0,75.
Läs om liggande stolen på wikipedia.
Exempel 5
- \displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}5 = 0{,}5\underline{0}
- \displaystyle \frac{1}{3} = 0{,}333333\,\ldots = 0{,}\underline{3}
- \displaystyle \frac{5}{12} = 0{,}4166666\,\ldots = 0{,}41\underline{6}
- \displaystyle \frac{1}{7} =0{,}142857142857\,\ldots = 0{,}\underline{142857}
(understrykningen markerar decimaler som upprepas)
Som synes har de rationella talen ovan en periodisk decimalutveckling, dvs. decimalutvecklingen slutar alltid med att en viss följd av decimaler upprepas i all oändlighet. Detta gäller för alla rationella tal och skiljer dessa från de irrationella, vilka inte har något periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
Omvänt gäller också att alla tal med en periodisk decimalutveckling är rationella tal.
Exempel 6
Talen \displaystyle \pi och \displaystyle \sqrt{2} är irrationella tal och har därför inget periodiskt mönster i sin decimalutveckling.
- \displaystyle \pi=3{,}141 \,592 \, 653 \, 589 \,793 \, 238 \, 462 \,643\,\ldots
- \displaystyle \sqrt{2}=1{,}414 \,213 \, 562 \,373 \, 095 \, 048 \, 801 \, 688\,\ldots
Exempel 7
- \displaystyle 0{,}600\,\ldots = 0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}
- \displaystyle 0{,}35 = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}
- \displaystyle 0{,}0025 = \frac{25}{10\,000} = \frac{1}{400}
Exempel 8
Talet \displaystyle x=0{,}215151515\,\ldots är rationellt, eftersom det har en periodisk decimalutveckling. Vi kan skriva detta rationella tal som en kvot av två heltal på följande sätt.
Multiplicerar vi talet med 10 förskjuts decimalkommat ett steg åt höger
och multiplicerar vi talet med \displaystyle 10\cdot 10\cdot 10 = 1000 flyttas decimalkommat tre steg åt höger
Nu ser vi att \displaystyle 1000\,x och \displaystyle 10\,x har samma decimalutveckling så differensen mellan talen
blir ett heltal
Alltså är
Avrundning
Eftersom det är opraktiskt att räkna med långa decimalutvecklingar så avrundar man ofta tal till ett lämpligt antal decimaler. Överenskommelsen som gäller är att siffrorna 0, 1, 2, 3 och 4 avrundas nedåt medan 5, 6, 7, 8 och 9 avrundas uppåt.
Vi använder symbolen \displaystyle \approx (är ungefär lika med) för att markera att en avrundning har skett.
Exempel 9
Avrundning till 3 decimalers noggrannhet:
- \displaystyle 1{,}0004 \approx 1,000
- \displaystyle 0{,}9999 \approx 1{,}000
- \displaystyle 2{,}9994999 \approx 2{,}999
- \displaystyle 2{,}99950 \approx 3{,}000
Exempel 10
Avrundning till 4 decimalers noggrannhet:
- \displaystyle \pi \approx 3{,}1416
- \displaystyle \frac{2}{3} \approx 0{,}6667
Jämförelse av tal
Man anger storleksförhållandet mellan tal med hjälp av symbolerna > (är större än), < (är mindre än) och = (är lika med). Storleksförhållandet mellan två tal kan avgöras dels genom att skriva talen i decimalform, eller genom att skriva rationella tal som bråk med gemensam nämnare.
Exempel 11
- Vilket är störst av talen \displaystyle \frac{1}{3} och \displaystyle 0{,}33?
Vi har att Vorlage:Fristående formel Alltså är \displaystyle x>y eftersom \displaystyle 100/300 > 99/300.
Alternativt så kan man se att \displaystyle 1/3>0{,}33 eftersom \displaystyle 1/3 = 0{,}3333\,\ldots > 0{,}33. - Vilket tal är störst av \displaystyle \frac{2}{5} och \displaystyle \frac{3}{7}?
Skriv talen med gemensam nämnare, t.ex. 35: Vorlage:Fristående formel Alltså är \displaystyle \frac{3}{7}>\frac{2}{5} eftersom \displaystyle \frac{15}{35} > \frac{14}{35}.
Råd för inläsning
Grund- och slutprov
Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
Att tänka på
Vara noggrann! Många lösningar blir fel på grund av misstag i avskriften eller andra enkla fel, och inte för att du skulle ha tänkt fel.
Lästips
För dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring så vill vi tipsa om
Läs mer om Aritmetik i engelska Wikipedia
Vem upptäckte Nollan? Läs mer i "The MacTutor History of Mathematics archive"
Liggande stolen - en beskrivning
Länktips
Hur många färger behövs det för att färglägga en karta? Hur många gånger måste man blanda en kortlek? Vilket är det största primtalet? Finns det några "turnummer"? Vilket är det vackraste talet? Lyssna till den kända författaren och matematikern Simon Singh, som bland annat berättar om de magiska talen 4 och 7, om primtalen, Keplers högar och om nollan.
