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Binomialkoeffizient

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Eigenschaften des Binomialkoeffizienten

kn=n!(n−k)!k!  mit ninNkinNngek

Beispiel 1

  1. kn=nn−k 
    nn−k=n!(n−n+k)!(n−k)!=n!(k)!(n−k)!=kn 
  2. \binom{n}{0} = 1
    0n=n!(n−0)!0!=n!n!1=n!n!=1 
  3. \binom{n}{1} = n
    1n=n!(n−1)!1!=n!n(n−1)!n=n!n!n=n 
  4. nn=1 
    nn=n!(n−n)!n!=n!0!n!=n!1n!=1 
  5. nn−1=n 
    nn−1=n!(n−n+1)!(n−1)!=n!1!(n−1)!=n!n(n−1)!n=n!n!n=n 
  6. kn−1+k−1n−1=kn 
    kn−1+k−1n−1=(n−1)!(n−1−k)!k!+(n−1)!(n−1−(k−1))!(k−1)! 
    =(n−1)!(n−1−k)!k!+(n−1)!k(n−k)!(k−1)!k=(n−1)!(n−k)(n−1−k)!k!(n−k)+(n−1)!k(n−k)!k!
    =(n−k)!k!(n−1)!(n−k)+(n−1)!k(n−k)!k!=(n−k)!k!(n−1)!(n−k)+(n−1)!k=(n−k)!k!(n−1)!(n−k+k)
    =(n−1)!n(n−k)!k!=n!(n−k)!k!=kn 

Das Paskalsche Dreieck

00 
01   11 
02   12   22 
03   13   23   33 
04   14   24   34   44 
1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
Das Paskalsche Dreieck
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