Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

Theorie

Übungen

A - Hinweise

B - Erläuter deine Lösung

Der wichtigste Hinweis ist:

Erläuter deine Lösung stets hinreichend.

Die Lösung eines Problems oder einer Aufgabe darf nicht nur darin bestehen, die verwendete Formel zu erwähnen, sondern muss eine Beschreibung enthalten, wie gedacht wurde. Verwende Worte, um dies zu tun! Stelle dir vor, du würdest die Lösung einem Klassenkameraden erklären, der Schwierigkeiten damit hat, die einzelnen Schritte zu begreifen. Du brauchst nicht jede kleine Rechnung zu erklären, jedoch darfst du keinen wichtigen Schritt auslassen. Wenn du diesen Rat befolgst, wirst du 80% dessen erreicht haben, was nötig ist, um eine angemessene Lösung zu liefern.

C - Schreibe gutes Deutsch

Obwohl dies keine Hausaufgabe im Fach Deutsch ist und der mathematische Inhalt selbstverständlich am wichtigsten ist, solltest du trotzdem stets auf Ausdrucksweise und grammatikalische Sauberkeit etc. achten. Wenn deine Lösung zu viele sprachliche Fehler aufweist, kann dies einen sehr negativen Eindruck bewirken und damit die Glaubwürdigkeit deiner Lösung unterlaufen. Deine Ausdrucksweise ist wichtig!

D - Schreibe deine Lösung zum Schluss sauber auf

Nachdem du das Problem gelöst hast, solltest du deine Lösung aufschreiben. Dabei kannst du dich auf die Präsentation der Lösung konzentrieren, was sogar zu Verbesserungen an der Lösung selbst führen kann. Ein Tipp ist, eine andere Person deine Lösung lesen zu lassen, um Unklarheiten zu entdecken. Es ist besser, die Präsentationsphase auf ein späteres Datum zu verschieben, damit du, wenn du zum ersten Mal das Problem löst, frei arbeiten kannst und dich nicht zu früh auf eine bestimmte Lösungsmethode festlegen musst.

Wenn du eine Lösung eingibst, verwende ein Textformat und keinen Screenshot eines Textverarbeitungsprogramms. Es mag einfacher für dich sein, die Lösung auf deinem eigenen PC mit deinen bevorzugten Programm zu schreiben, aber im nächsten Schritt wird deine Lösung als Teil in der Gruppenarbeit enthalten sein. Deshalb ist es notwendig, dass deine Lösung editierbar bleibt, was ein Screenshot nicht leistet.

E - Klare Antworten

Schreibe zum Schluss eine klare Antwort. Dies ist besonders dann notwendig, wenn die Lösung lang und die Antwort auf verschiedene Textstellen verteilt ist. Allerdings gibt es auch Probleme vom Typ "Zeigen Sie...". Dann ist zum Schluss keine separate Antwort nötig.

Vereinfachen deine Antwort so weit wie möglich.

F - Gehe schrittweise vor

Es kommt vor, dass du so genannte Scheinlösungen erhälst, wenn du Gleichungen löst. Erkläre in diesem Fall, warum diese auftauchten und teste die Lösungen, um zu erkennen, welche tatsächlich Lösungen sind.

Verlorene Lösungen. Wenn z.B. ein Faktor auf beiden Seiten einer Gleichung herausgekürzt wird und nicht bemerkt wird, dass die Gleichung, die entsteht, wenn man den betreffenden Faktor gleich 0 setzt, zusätzliche Lösungen liefert.

Ein wichtiger Teil des Lösungsprozesses ist es, Plausibilitätsmethoden zu nutzen, um eine Lösung zu prüfen. Zum Beispiel kann man die Lösung einer Gleichung wieder in die Gleichung einsetzen, um sicher zu gehen, dass diese wirklich eine Lösung ist, weil man sich verrechnet haben könnte (Vorsicht: verwechsel diese Vorgehensweise nicht mit dem Untersuchen von Scheinlösungen). Diese Vorgehensweise kannst du auch für Teilschritte durchführen.

Ein weiterer Punkt ist abzuschätzen, ob die Antwort plausibel ist. Setze Werte für einige der Parameter ein und vergewisser dich damit, dass du die richtige Lösung hast. Was passiert z.B. wenn \displaystyle a = 0, \displaystyle a = 1 oder wenn a nach unendlich geht.

G - Zeichne klare Bilder

Ein Bild kann oft viel besser als Text eingeführte Symbole erklären oder verdeutlichen. Verwende Bilder! Vergiss nicht, diese übersichtlich zu zeichnen und überlade sie nicht mit zu vielen Details. Es ist oft besser, mehrere, fast identische Bilder zu haben, die jeweils einen Gedanken erläutern, als ein großes Bild, das alles enthält.

H - Behandel Formeln als Teil des Texts

Es ist wichtig, dass du deine Lösung auf eine Weise aufschreibst, welche es anderen einfach macht, ihr zu folgen. Um dir zu helfen, präsentieren wir dir hier einige Beispiele, um einige Tipps und häufige Fehler zu demonstrieren, welche auftauchen, wenn man Formeln und Text mischt.

Formeln sollten nicht als etwas betrachtet werden, welches ohne Bezug zum Text ist (bzw. umgekehrt), sondern als ein Baustein mit einer klaren Linie. Schreibe deshalb Text nicht eingeklammert hinter Formeln, sondern als Erläuterung, die dem Text voraus gehen.

Formeln können als Teil des Text oder abgesetzt geschrieben werden. Wenn Formeln vom Text abgesetzt werden, erscheinen Sie in einer eigenen Zeile und sind entweder eingerückt oder zentriert.

Gut

...text text text Formel text text text text.

Text text text

Formel

text text text text text text text text...

(Beachte, dass das Einrücken sowohl die Formel als auch den Text hervorhebt.)

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Ein häufiger Fehler ist es, einen Doppelpunkt vor einer Formel zu verwenden.

Da eine Formel ein Teil des Texts ist, sollte sie auch als Teil des Satzes betrachtet werden. Achte deshalb auf die korrekte Interpunktion. Vergiss insbesondere nicht den Punkt am Ende eines Satzes.

Eine schlechte Gewohnheit ist umfassendes Nummerieren. Ein Beispiel hierfür ist, jeden Schritt in einer Lösung zu nummerieren. Die zusätzlichen Ziffern helfen nicht, lenken aber ab. Selten musst du später auf einzelne Schritte innerhalb einer Rechnung verweisen, und wenn du musst, kannst du oft etwas wie "als wir die Gleichung quadrierten" etc. schreiben.

Manchmal möchte man auf eine abgesetzte Formel oder Gleichung verweisen. In diesem Fall kann dies eine Nummer (oder ein Stern) sein in Klammern auf dem rechten oder linken Rand.

I - Häufige Fehler

Sei vorsichtig mit Pfeilen und ähnlichem

Es gibt einen Unterschied zwischen \displaystyle \Rightarrow (Implikationspfeil), \displaystyle \Leftrightarrow (Äquivalenzpfeil) und \displaystyle = (Gleichheitszeichen). Für zwei Gleichungen, für die direkt bekannt ist, dass sie die gleichen Lösungen haben, verwendet man \displaystyle \Leftrightarrow, um dies auszudrücken.

Wenn wir jedoch "Gleichung 1 \displaystyle \Rightarrow Gleichung 2" schreiben, heisst dies, dass Gleichung 2 alle Lösungen hat, die auch Gleichung 1 hat, nicht aber umgekehrt. (D.h. Gleichung 2 könnte mehr Lösungen haben.)

Oft kümmert man sich nicht darum, das Symbol \displaystyle \Leftrightarrow zwischen verschiedene Schritte einer Lösung zu schreiben, solange sie in verschiedenen Zeilen stehen (und damit die Äquivalenz implizieren). Oft ist es besser, erklärenden Text zu verwenden als Pfeile in den einzelnen Schritten. Verwende den Implikationspfeil keinesfalls als allgemeines Symbol zur Fortsetzung einer Lösung (im Sinne von "der nächste Schritt ist").

Das Gleichheitszeichen (\displaystyle =) wird üblicherweise auf zwei Arten benutzt. Erstens, um auszudrücken, dass zwei Dinge gleich sind, d.h. \displaystyle (x - 2)^2 = x^2-4x + 4, was für alle \displaystyle x gilt und zweitens in Gleichungen, wo beide Seiten gleich sind für bestimmte \displaystyle x. Zum Beispiel gilt \displaystyle (x - 2) ^2 = 4 nur für \displaystyle x = 0 oder \displaystyle x = 4. Du solltest diese zwei verschiedenen Verwendungen nicht durcheinanderbringen.

(Es gibt auch noch einen dritten Sinn für die Verwendung des Gleichheitszeichens, der darin besteht, einen Ausdruck oder eine Zuordnungsvorschrift zu definieren.)

Der einfache Pfeil (\displaystyle \rightarrow) wird in der Mathematik oft verwendet, um mit verschiedenen Arten von Grenzwerten umzugehen: \displaystyle a \to \infty bedeutet, dass a zunimmt und nicht beschränkt ist (d.h. nach Unendlich geht). Du wirst vermutlich keinen einzigen einfachen Pfeil in diesem Kurs brauchen.

Gehe nicht unbedacht mit Klammern um

Da Multiplikation und Division eine höhere Priorität haben als Addition und Subtraktion, muss man Klammern nur verwenden, wenn Addition und Subtraktion zuerst durchgeführt werden sollen.

Wenn du mit algebraischen Ausdrücken arbeitest, lässt man normalerweise das Zeichen für die Multiplikation weg. Zum Beispiel schreibt man kaum \displaystyle 4\times x\times y\times z, sonder eher \displaystyle 4xyz.

Der Verzicht auf das Multiplikationszeichen behandelt eine solche prioritär gegenüber anderen Multiplikationen und Divisionen (nicht aber gegenüber Potenzen). Wenn man \displaystyle 1/2R schreibt, heißt dies \displaystyle 1 / (2R) und nicht \displaystyle (1 / 2) R. Da dies eine Quelle für Mißverständnisse sein könnte, ist es nicht unüblich, die Klammern in beiden Situationen zu schreiben.

Argumente von grundlegenden elementaren Funktionen werden ebenfalls ohne Klammer geschrieben. Deshalb solltest du nicht schreiben:

\displaystyle \cos (x), \displaystyle \sin (x), \displaystyle \tan (x), \displaystyle \cot (x), \displaystyle \lg (x) und \displaystyle \ln (x)\,,

sondern

\displaystyle \cos x, \displaystyle \sin x, \displaystyle \tan x, \displaystyle \cot x, \displaystyle \lg x und \displaystyle \ln x\,.

Tatsächlich solltest du \displaystyle \cos 2x und nicht \displaystyle \cos (2x) schreiben (da das Argument \displaystyle 2x durch das Aneinanderschreiben stärker gebunden ist), aber Klammern sind nötig, wenn du \displaystyle \sin (x + y) schreibst, genauso bei \displaystyle \sin(x / 2) oder \displaystyle (\sin x)^2 (wobei du letzteres auch als \displaystyle \sin ^2\!x schreiben kansst).

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