3.4 Logarithmusgleichungen
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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{{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math> \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} | ||
und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist | und erhalten durch die Definition, dass <math>2x = e^{-1/3}</math>, und daher ist | ||
| - | {{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\\mbox{.} </math>}}</li> | + | {{Abgesetzte Formel||<math> x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} </math>}}</li> |
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Version vom 18:49, 13. Aug. 2009
| Theorie | Übungen |
Inhalt:
- Logarithmusgleichungen
- Potenzgleichungen
- Scheinlösungen
Lernziele:
Nach diesem Abschnitt solltest Du folgendes können:
- Einfache Logarithmusgleichungen durch Logarithmieren lösen.
- Kompliziertere Logarithmusgleichungen lösen, die in lineare oder quadratische Gleichungen umgeschrieben werden können.
- Scheingleichungen erkennen.
- Logarithmische Ausdrücke vergleichen mit Hilfe der Basis und des Exponenten.
Einfache Gleichungen
Es gibt viele verschiedene Arten von Logarithmusgleichungen. Hier sind ein paar Beispiele, wo wir die Lösung der Gleichung mit der Definition des Logarithmus direkt erhalten:
 x=lgyx=lny |
(Wir betrachten hier nur den 10-Logarithmus und den natürlichen Logarithmus)
Beispiel 1
Löse die Gleichungen
10x=537 hat die Lösungx=lg537 .105x=537 gibt5x=lg537 , alsox=51lg537 .3ex=5 Wir erweitern beide Seiten mitex und dividieren beide Seiten durch 5, und erhalten53=ex , alsox=ln53 .lgx=3 hat die Lösungx=103=1000 .lg(2x−4)=2 Von der Definition des Logarithmus bekommen wir2x−4=102=100 und alsox=52 .
Beispiel 2
- Löse die Gleichung
( .
10)x=25
Nachdem
2 ( und wir haben die Gleichung10)x=(1012)x=10x2
Diese Gleichung hat die Lösung10x 2=25. x2=lg25 , alsox=2lg25 . - Löse die Gleichung
23ln2x+1=21 .
Wir multiplizieren beide Seiten mit 2, und subtrahieren danach 2 von beiden Seiten3ln2x=−1. Jetzt dividieren wir beide Seiten durch 3
ln2x=−31. und erhalten durch die Definition, dass
2x=e−1 , und daher ist3 x=21e−1 3=12e13.
In der Praxis erscheinen Gleichungen in der Form
wobei
Und durch die Logarithmengesetze erhalten wir
 lga=lgb |
also ist die Lösung x=lgalgb .
Beispiel 3
- Löse die Gleichung
3x=20 .
Wir logarithmieren beide Seitenlg3x=lg20. Die linke Seite ist
lg3x=x , und daher haben wirlg3x=lg3lg20( 
2.727). - Löse die Gleichung
5000 .1.05x=10000
Wir dividieren beide Seiten durch 50001.05x=500010000=2. Indem wir beide Seiten logarithmieren und die linke Seite umschreiben, bekommen wir die Lösung,
lg1.05x=x ,lg1.05x=lg2lg1.05( 14.2).
Beispiel 4
- Löse die Gleichung
2x .3x=5
Wir schreiben die linke Seite als2x mit den Potenzgesetzen und erhalten3x=(23)x6x=5. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten so
x=lg6lg5( 0.898). - Löse die Gleichung
52x+1=35x .
Wir logarithmieren beide Seiten und verwenden das Logarithmengesetzlgab=b lga(2x+1)lg52x lg5+lg5=5xlg3,=5xlg3.Wir bringen
x auf eine Seitelg5lg5=5x lg3−2xlg5,=x(5lg3−2lg5).Die Lösung ist also
x=lg55lg3−2lg5.
Kompliziertere Gleichungen
Gleichungen mit mehreren Logarithmustermen können in manchen Fällen wie lineare oder quadratische Gleichungen geschrieben werden, indem man "
Beispiel 5
Löse die Gleichung
Wir multiplizieren beide Seiten mit
Nachdem
Wir vereinfachen beide Seiten der Gleichung
Dabei haben wir ex=e−x+x=e0=1
Logarithmieren wir beide Seiten der Gleichung, erhalten wir die Antwort
| ln3=−ln3. |
Beispiel 6
Löse die Gleichung
Der Term lnx=−lnx
wo wir 
=1
für
 lnx+21 2−212−1=lnx+212−45 |
Wir erhalten
 25 |
und daher die Lösungen
 5)2oderx=e−(1+5)2. |
Scheinlösungen
Wenn wir Logarithmusgleichungen lösen, müssen wir daran denken, dass das Argument der Logarithmusfunktion immer positiv sein muss, und dass
Beispiel 7
Löse die Gleichung
Wir suchen Lösungen der Gleichung
 |  ) |
wobei beide Seiten zusätzlich positiv ein müssen. Diese Gleichung kann auch als
geschrieben werden und wir erhalten die Wurzeln
Jetzt testen wir, ob für unsere Lösungen beide Seiten von )
- Wenn
x=−21 , sind beide Seiten4x2−2x=1−2x=1−2 .−21=1+1=2
0 - Wenn
x=21 , sind beide Seiten4x2−2x=1−2x=1−2 .21=1−1=00
Die Gleichung hat also nur die eine Lösung
Beispiel 8
Lösen Sie die Gleichung
Der erste Term kann als
Wir ersetzen
| \displaystyle t^2 -t = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.} |
Die quadratische Ergänzung ergibt
\displaystyle \begin{align*}
\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2
&= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\\
\bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2
&= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\\
\end{align*}
|
und wir haben die Lösungen
\displaystyle
t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\quad\mbox{und}\quad
t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}
|
Nachdem \displaystyle \sqrt3 > 1, ist \displaystyle \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0 und also ist nur \displaystyle t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3 eine mögliche Lösung, da \displaystyle e^x immer positiv ist. Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten
\displaystyle
x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)
|
als die einzige Lösung der Gleichung.
Tipps fürs Lernen
Diagnostische Prüfung und Schlussprüfung
Nachdem Du mit der Theorie fertig bist, solltest Du die diagnostische Prüfung und die Schlussprüfung machen. Du findest die Links zu den Prüfungen in Deiner "Student Lounge".
Bedenke folgendes:
Lerne die Logarithmengesetze ordentlich.
Viele StudentenInnen an den Universitäten haben Schwierigkeiten mit den Logarithmengesetzen.
