Lösung 1.1:7b

Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.

In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.

Also ist unsere Zahl rational.

Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als eine Quote zwischen ganzen Zahlen schreiben.

Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

und

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots

\displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots

Jetzt sieht man, dass 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.

Also,

\displaystyle 10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots

\displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(die Nachkommastellen verschwinden)

und nachdem \displaystyle 10000x-x = 9999x haben wir

\displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}

Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass

\displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}