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Lösung 1.1:7c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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und also ist sie rational.
und also ist sie rational.
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Indem wir die Zahl mit 10 multiplizieren, können wir das komme Schritt für Schritt nach rechts verschieben
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Indem wir die Zahl mit 10 multiplizieren, können wir das Komma Schritt für Schritt nach rechts verschieben
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,\textrm{.}\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots</math>
::<math>\insteadof[right]{10000x}{x}{}=0\,\textrm{.}\,2\ 001\ 001\ 001\,\ldots</math>
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots</math>
::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{}=2001\,\textrm{.}\,\underline{001}\ \underline{001}\ 1\ldots</math>
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Hier sieht man dass 10''x'' und 10000''x'' dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, und also ist
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Hier sieht man, dass 10''x'' und 10000''x'' dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, also ist
::<math>10000x-10x = 2001\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots</math>
::<math>10000x-10x = 2001\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots - 2\textrm{.}\underline{001}\ \underline{001}\ \underline{001}\,\ldots</math>
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::<math>\phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad</math>(die Dezimale kanzellieren)
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::<math>\phantom{10000x-10x}{} = 1999\,\mbox{.}\quad</math>(die Nachkommastellen verschwinden)
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<math>10000x-10x = 9990x</math>, und also ist
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<math>10000x-10x = 9990x</math>, daher ist
::<math>9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}</math>
::<math>9990x = 1999\quad\Leftrightarrow\quad x = \frac{1999}{9990}\,\mbox{.}</math>
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<!--<center> [[Image:1_1_7c-1(2).gif]] </center>
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<center> [[Image:1_1_7c-2(2).gif]] </center>-->
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Aktuelle Version

Man sieht dass die Zahl eine periodische Dezimalbruchentwicklung von 001 hat.

0.2 001 001 001...

und also ist sie rational.

Indem wir die Zahl mit 10 multiplizieren, können wir das Komma Schritt für Schritt nach rechts verschieben

x=0.2 001 001 001...
10x=2.001 001 001 1...
100x=20.01 001 001 1...
1000x=200.1 001 001 1...
10000x=2001.001 001 1...

Hier sieht man, dass 10x und 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung haben, also ist

10000x−10x=2001.001 001 001...−2.001 001 001...
=1999.(die Nachkommastellen verschwinden)

10000x−10x=9990x, daher ist

9990x=1999x=99901999.
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