Lösung 1.1:7b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math> | ::<math>\insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots</math> | ||
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| - | Jetzt sieht man dass 10000''x'' dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie | + | Jetzt sieht man, dass 10000''x'' dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie ''x'' hat. |
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Also, | Also, | ||
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::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math> | ::<math>9999x = 31413\,\mbox{.}</math> | ||
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| - | Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir dass | + | Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass |
::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math> | ::<math>x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}</math> | ||
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Version vom 13:01, 8. Aug. 2009
Eine rationale Zahl hat ab einer bestimmten Dezimale eine periodische Dezimalbruchentwicklung.
In diesem Fall ist die periodische Dezimalbruchentwicklung 1416.
Also ist unsere Zahl rational.
Jetzt müssen wir die Zahl nur noch als eine Quote zwischen ganzen Zahlen schreiben.
Wenn wir unsere Zahl als x benennen haben wir
- \displaystyle \insteadof[right]{10000x}{x}{} = 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots
und
- \displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10x}{} = 31\,\textrm{.}\,4161\ 4161\ 4161\,\ldots
- \displaystyle \insteadof[right]{10000x}{100x}{} = 314\,\textrm{.}\,1614\ 1614\ 161\,\ldots
- \displaystyle \insteadof[right]{10000x}{1000x}{} = 3141\,\textrm{.}\,6141\ 6141\ 61\,\ldots
- \displaystyle \insteadof[right]{10000x}{10000x}{} = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\ 1\,\ldots
Jetzt sieht man, dass 10000x dieselbe Dezimalbruchentwicklung wie x hat.
Also,
- \displaystyle 10000x-x = 31416\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots - 3\,\textrm{.}\,\underline{1416}\ \underline{1416}\,\ldots
- \displaystyle \phantom{10000x-x}{}= 31413\quad(die Dezimale kanzellieren einander)
und nachdem \displaystyle 10000x-x = 9999x haben wir
- \displaystyle 9999x = 31413\,\mbox{.}
Wenn wir beide seiten mit 9999 dividieren, sehen wir, dass
- \displaystyle x = \frac{31413}{9999}\quad\biggl({}= \frac{10471}{3333}\biggr)\,\mbox{.}
