Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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	Wir quadrieren zuerst die Gleichung		Wir quadrieren zuerst die Gleichung
-	{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7 = (x+2)^2</math>|(*)}}
	und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten		und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten
-	{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>|(*)}}	+	{{Abgesetzte Formel||<math>2x+7=x^{2}+4x+4</math>}}
	oder		oder

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Version vom 21:43, 5. Aug. 2009

Wir quadrieren zuerst die Gleichung

\displaystyle 2x+7 = (x+2)^2

(*)

und erhalten so eine Gleichung ohne Wurzeln. Wir erweitern die rechte Seite der Gleichung, und erhalten

\displaystyle 2x+7=x^{2}+4x+4

oder

\displaystyle x^{2}+2x-3=0\,\textrm{.}

Quadratische Ergänzung auf der linken Seite gibt

\displaystyle x^2+2x-3 = (x+1)^2-1^2-3 = (x+1)^2-4\,\textrm{.}

Wir erhalten die Gleichung

\displaystyle (x+1)^2 = 4

mit den Lösungen

• \displaystyle x=-1+\sqrt{4}=-1+2=1

• \displaystyle x=-1-\sqrt{4}=-1-2=-3

Eine schnelle Kontrolle zeigt, dass die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen:

x = -3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot (-3)+7 = -6+7 = 1 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (-3+2)^{2} = 1
x = 1:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = 2\cdot 1+7 = 2+7 = 9 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = (1+2)^2 = 9

Wir testen schließlich, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen:

x = -3:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot (-3)+7} = \sqrt{-6+7} = \sqrt{1} = 1 und
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = -3+2 = -1
x = 1:	\displaystyle \ \text{Linke Seite} = \sqrt{2\cdot 1+7} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3
	\displaystyle \ \text{Rechte Seite} = 1+2 = 3

Daher ist \displaystyle x=1 die einzige Lösung der Gleichung (\displaystyle x=-3 ist eine Scheinlösung).

Hinweis: Es ist nicht wirklich notwendig zu testen, ob die Lösungen die Gleichung (*) erfüllen. Es ist aber immer notwendig zu testen, ob die Lösungen die ursprüngliche Wurzelgleichung erfüllen.