Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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	* Dies ergibt		* Dies ergibt
-	<math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8}</math>	+	<math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8}</math> ,
-	and thus	+	also
	<math>\frac{1}{2}<\frac{5}{8}</math>		<math>\frac{1}{2}<\frac{5}{8}</math>
	.		.
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	* und		* und
	<math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40}</math>		<math>\frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40}</math>
-	and	+	und
	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40}</math>		<math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40}</math>
-	, which gives that	+	, also
	<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>.		<math>\frac{3}{5}<\frac{5}{8}</math>.
	* und schließlich		* und schließlich
	<math>\frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24}</math>		<math>\frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24}</math>
-	and	+	und
-	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}</math>, and this gives that	+	<math>\frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}</math>, also
	<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>.		<math>\frac{5}{8}<\frac{2}{3}</math>.
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	<math>{21}/{34}\;</math>		<math>{21}/{34}\;</math>
	mit		mit
-	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\;</math> und <math>{2}/{3}\;</math>, dies ergibt	+	<math>{1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\;</math> und <math>{2}/{3}\;</math> dies ergibt
	* <math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, also <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math>		* <math>\frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}</math>, also <math>\frac{1}{2}<\frac{21}{34}</math>

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Version vom 22:33, 3. Aug. 2009

Von den vorigen Übungen haben wir folgendes

\displaystyle \begin{align} & \frac{1}{2}=0.5 \\ & \\ & \frac{2}{3}=2\centerdot \frac{1}{3}=0.666... \\ & \\ & \frac{3}{5}=3\centerdot \frac{1}{5}=3\centerdot 0.2=0.6 \\ \end{align}

\displaystyle

Also haben wir \displaystyle {1}/{2<{3}/{5<{2}/{3}\;}}.

Nachdem es relativ unständig ist \displaystyle {5}/{8}\; and \displaystyle {21}/{34}\; als Dezimalzahlen zu schreiben, schreiben wir sie stattdessen als Quoten mit gemeinsamen Nenner und vergleichen \displaystyle {5}/{8}\; und \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; Wir beginnen damit \displaystyle {5}/{8}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5}\;}\; und \displaystyle {2}/{3}\; zu vergleichen.

• Dies ergibt

\displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 4}{2\centerdot 4}=\frac{4}{8} , also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{5}{8} .

• und

\displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 8}{5\centerdot 8}=\frac{24}{40} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 5}{8\centerdot 5}=\frac{25}{40} , also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{8}.

• und schließlich

\displaystyle \frac{2}{3}=\frac{2\centerdot 8}{3\centerdot 8}=\frac{16}{24} und \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 3}{8\centerdot 3}=\frac{15}{24}, also \displaystyle \frac{5}{8}<\frac{2}{3}.

Also haben wir \displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;

Jetzt vergleichen wir \displaystyle {21}/{34}\; mit \displaystyle {1}/{2,\ \ {3}/{5},\ \ {5}/{8}}\; und \displaystyle {2}/{3}\; dies ergibt

• \displaystyle \frac{1}{2}=\frac{1\centerdot 17}{2\centerdot 17}=\frac{17}{34}, also \displaystyle \frac{1}{2}<\frac{21}{34}

• \displaystyle \frac{3}{5}=\frac{3\centerdot 34}{5\centerdot 34}=\frac{102}{170} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 5}{34\centerdot 5}=\frac{105}{170}, also \displaystyle \frac{3}{5}<\frac{21}{34}.

• \displaystyle \frac{5}{8}=\frac{5\centerdot 17}{8\centerdot 17}=\frac{85}{136} und \displaystyle \frac{21}{34}=\frac{21\centerdot 4}{34\centerdot 4}=\frac{84}{136}, also \displaystyle \frac{21}{34}<\frac{5}{8}.

Zusammen bekommen wir schließlich

\displaystyle {1}/{2}\;<{3}/{5}\;<{21}/{34}\;<{5}/{8}\;<{2}/{3}\;.