Lösung 4.2:4b
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
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|width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math> | |width="50%" align="left"|<math>\begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align}</math> | ||
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Version vom 15:48, 30. Jul. 2009
Zuerst subtrahieren wir \displaystyle 2\pi von \displaystyle 11\pi/3, sodass wir einen Winkel zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi erhalten. Dies ändert nicht den Wert des Kosinus.
| \displaystyle \cos\frac{11\pi}{3} = \cos\Bigl(\frac{11\pi}{3}-2\pi\Bigr) = \cos\frac{5\pi}{3}\,\textrm{.} |
Danach schreiben wir \displaystyle 5\pi/3 als Summe von \displaystyle \pi- und \displaystyle \pi/2-Termen,
| \displaystyle \frac{5\pi}{3} = \frac{3\pi +\dfrac{3}{2}\pi +\dfrac{1}{2}\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} |
Somit sehen wir, dass \displaystyle 5\pi/3 im vierten Quadrant liegt, und den Winkel \displaystyle \pi/6 mit der negativen y-Achse bildet.
Mit ein wenig Trigonometrie berechnen wir den Punkt auf dem Einheitskreis, der dem Winkel \displaystyle 5\pi/3\, entspricht:
| \displaystyle \begin{align}\text{Gegenkathete} &= 1\cdot\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\\[5pt] \text{Ankathete} &= 1\cdot\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\end{align} |
Der Punkt hat also die Koordinaten \displaystyle (1/2,-\sqrt{3}/2), also ist
| \displaystyle \cos \frac{11\pi}{3} = \cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\,\textrm{.} |
