4.4 Trigonometrische Gleichungen

Beispiel 1

Lös die Gleichung \displaystyle \,\sin x = \frac{1}{2}.

Wir wollen alle Winkel finden, die den Sinus \displaystyle \tfrac{1}{2} haben. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass es zwei solche Winkel \displaystyle x gibt.

Wir haben hier also die beiden Winkel \displaystyle 30^\circ = \pi / 6 und (durch Symmetrie) \displaystyle 180^\circ – 30^\circ = 150^\circ, die dem y-Wert \displaystyle \sin x = \tfrac{1}{2} entsprechen. Zwischen \displaystyle 0 und \displaystyle 2\pi sind dies auch die einzigen solchen Winkel.

Aber nachdem wir zu einem Winkel ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi addieren können, ohne den Sinus zu ändern, haben wir auch folgende Lösungen:

   x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\
   x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi
 \end{cases}

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist. Dies wird die allgemeine Lösung der Gleichung genannt.

Betrachtet man den Graph von \displaystyle y = \sin x, sieht man auch, dass die Gleichung unendlich viele Lösungen hat, nachdem die Kurven \displaystyle y = \sin x und \displaystyle y=\tfrac{1}{2} unendlich viele Schnittstellen haben.

Beispiel 2

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos x = \frac{1}{2}.

Wir betrachten den Einheitskreis.

Wir wissen, dass der Kosinus von \displaystyle \pi/3 \displaystyle \tfrac{1}{2} ist. Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass der Winkel \displaystyle -\pi/3 auch den Kosinus \displaystyle \tfrac{1}{2} hat. Addieren wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu diesen Winkeln, erhalten wir die allgemeine Lösung,

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 3

Löse die Gleichung \displaystyle \,\tan x = \sqrt{3}.

Wir wissen von vorher, dass der Winkel \displaystyle x=\pi/3 die Gleichung erfüllt.

Betrachten wir den Einheitskreis, sehen wir, dass jede halbe Umdrehung des Winkels dieselbe Steigung wie der Winkel hat und daher den selben Tangens.

Daher erhalten wir die allgemeine Lösung, indem wir \displaystyle \pi mehrmals zur Lösung addieren. So erhalten wir die Lösungen \displaystyle \pi/3, \displaystyle \pi/3 +\pi, \displaystyle \pi/3+ \pi +\pi etc. Die allgemeine Lösung der Gleichung ist daher

wobei \displaystyle n eine beliebige ganze Zahl ist.

Beispiel 4

Löse die Gleichung \displaystyle \,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0.

Wir verwenden \displaystyle \cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1 und erhalten

Durch Division durch 2 erhalten wir

Wir faktorisieren die linke Seite

Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn \displaystyle \cos x = 1. Diese Gleichung lösen wir wie vorhin und die allgemeine Lösung ist

 x = 2n\pi

Beispiel 5

Löse die Gleichung \displaystyle \,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0.

Durch den Satz des Pythagoras erhalten wir \displaystyle 1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x und wir bekommen

Wir klammern den Faktor \displaystyle \sin x aus und erhalten

 \sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}

So sehen wir, dass die Lösungen der Gleichung die Gleichungen \displaystyle \sin x = 0 oder \displaystyle \sin x = -\tfrac{1}{2} erfüllen müssen. Diese Gleichungen lösen wir wie in Beispiel 1. Die Lösungen sind

 \begin{cases}
   x &= n\pi\\
   x &= -\pi/6+2n\pi\\
   x &= 7\pi/6+2n\pi
 \end{cases}
 

Beispiel 6 Löse die Gleichung \displaystyle \,\sin 2x =4 \cos x.

Durch die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus erhalten wir

Dividieren wir durch 2 und klammern den Faktor \displaystyle \cos x aus, erhalten wir

Also müssen die Lösungen dieser Gleichung eine der Gleichungen

• \displaystyle \cos x = 0\,\text{ oder}
• \displaystyle \sin x = 2

erfüllen. Nachdem \displaystyle \sin x nie größer als 1 ist, hat die zweite Gleichung keine Lösungen. Die erste Gleichung hingegen hat die Lösungen \displaystyle x = \pi / 2 + n \cdot \pi.

Beispiel 7

Löse die Gleichung \displaystyle \,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1.

Wir verwenden das Gesetz des Pythagoras, und ersetzen \displaystyle \sin^2\!x mit \displaystyle 1 – \cos^2\!x. So erhalten wir

 \begin{align*}
   4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\
   –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\
   \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\
 \end{align*}

Dies ist eine quadratische Gleichung für \displaystyle \cos x, mit den Lösungen

 \cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{und}\quad
 \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}

Nachdem \displaystyle \cos x nie kleiner als \displaystyle –1 ist, hat die erste Gleichung keine Lösung. Also hat die Gleichung nur dieselben Lösungen wie die Gleichung

die wir im Beispiel 2 gelöst haben.