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Lösung 4.4:8c

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\left\{\begin{align}
-
x &= n\pi\,,\\[5pt]
+
x &= n\pi\,\text{ und}\\[5pt]
-
x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,,
+
x &= \frac{3\pi}{4}+n\pi\,.
\end{align}\right.</math>}}
\end{align}\right.</math>}}

Aktuelle Version

Wir versuchen, die Gleichung durch trigonometrische Identitäten umzuschreiben, sodass sie nur eine trigonometrische Funktion enthält. Durch den trigonometrischen Pythagoras erhalten wir

1cos2x=cos2xcos2x+sin2x=1+sin2xcos2x=1+tan2x

Wir können die Gleichung in nur tanx-Terme schreiben:

1+tan2x=1−tanx.

Benennen wir t=tanx, erhalten wir eine quadratische Gleichung für t, die vereinfacht t2+t=0 ist. Diese Gleichung hat die Lösungen t=0 und t=−1. Daher muss x entweder die Gleichung tanx=0 oder die Gleichung tanx=−1 erfüllen. Die erste Gleichung hat die Lösungen x=n und die zweite die Lösungen x=34+n.

Also erhalten wir zusammen die Lösungen

xx=n und=43+n
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