Lösung 3.4:2a
Aus Online Mathematik Brückenkurs 1
(Unterschied zwischen Versionen)
K |
|||
| Zeile 1: | Zeile 1: | ||
| - | Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren | + | Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren: |
| - | {{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\, | + | {{Abgesetzte Formel||<math>\ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,.</math>}} |
Wir verwenden das Logarithmusgesetz <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> und erhalten | Wir verwenden das Logarithmusgesetz <math>\ln a^b = b\cdot \ln a</math> und erhalten | ||
| Zeile 7: | Zeile 7: | ||
{{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>\bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.}</math>}} | ||
| - | Nachdem <math>e^{0}=1</math> ist <math>\ln 1 = 0</math>, | + | Nachdem <math>e^{0}=1</math> ist <math>\ln 1 = 0</math>, erhalten wir |
{{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}} | {{Abgesetzte Formel||<math>(x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.}</math>}} | ||
Version vom 13:46, 12. Jun. 2009
Die linke Seite der Gleichung ist "2 hoch irgendetwas", und also immer positiv. Daher können wir beide Seiten logarithmieren:
| \displaystyle \ln 2^{x^2-2} = \ln 1\,. |
Wir verwenden das Logarithmusgesetz \displaystyle \ln a^b = b\cdot \ln a und erhalten
| \displaystyle \bigl(x^2-2\bigr)\ln 2 = \ln 1\,\textrm{.} |
Nachdem \displaystyle e^{0}=1 ist \displaystyle \ln 1 = 0, erhalten wir
| \displaystyle (x^2-2)\ln 2=0\,\textrm{.} |
Also muss x die quadratische Gleichung
| \displaystyle x^2-2 = 0\,\textrm{.} |
erfüllen. Diese Gleichung hat die Wurzeln \displaystyle x=-\sqrt{2} und \displaystyle x=\sqrt{2}\,.
Diese Übung stammt von einer Finnischen Maturaprüfung im März 2007.
